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1、考点梳理,1平面的基本性质及推论,第2讲平面的基本性质与异面直线,两点,三点,一点,相交,平行,公共直线,(1)空间两条直线的位置关系有相交、平行、异面.,2. 空间两条直线,一个,同一个,(2)平行直线 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相_ 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角_ (3)异面直线 判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过_的直线是异面直线,平行,相等或互补,该点,3异面直线所成的角,(2)求角方法： 利用平移的方法，得到平面角，再构造三角形解决； 向量法,从近几年高考试卷分析，本节内容是立体几何的基础，在高考中以填空题出现，
2、但对于异面直线所成的角往往出现在解答题的某一问中，主要考查平面的基本性质，两条直线的位置关系，以平行与异面直线的考查为主,【助学微博】,1给出以下命题：和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；三条两两相交的直线在同一平面内；有三个不同公共点的两个平面重合；两两平行的三条直线确定三个平面 其中正确命题的个数是_ 解析命题错，因为这两条直线可能异面命题错，若交于同一点时，可以不共面，如三棱锥的三条侧棱命题错，这三个不同公共点可能在它们的公共交线上命题错，两两平行的三条直线也可在同一个平面内，所以正确命题的个数为0. 答案0,考点自测,2(2012梁丰高级中学期末)已知直线m，l，平面，且m，l.下
3、列命题中，其中正确命题的个数是_ 若，则ml；若，则ml；若ml，则；若ml，则. 解析结合实物模型和相关定理知，和为真命题，故正确命题的个数为2. 答案2,3如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线_对,答案24,4(2012南京、盐城调研一)已知四边形ABCD为梯形，ABCD，l为空间一直线，则“l垂直于两腰AD，BC”是“l垂直于两底AB，DC”的_条件(填空“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一个) 解析l垂直于两腰AD、BC，则l垂直于平面ABCD，从而l垂直于两底AB、DC；反之，由于ABDC，l垂直于两底AB、DC，不一定能推出l
4、垂直于平面ABCD. 答案充分不必要,5如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是_,解析中PQRS，中RSPQ，中RS和PQ相交 答案,ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点求证： (1)E、C、D1、F四点共面； (2)CE、D1F、DA三线共点,考向一点共线、点共面、线共点的证明,【例1】 (2012淮安模拟)如图在正方体,解(1)如图，连接EF，CD1，A1B. E、F分别是AB、AA1的中点， EFBA1. 又A1BD1C，EFCD1， E、C、D1、F四点共面 (2)EFCD1，EFCD1， CE与D1F
5、必相交，设交点为P， 则由PCE，CE平面ABCD， 得P平面ABCD. 同理P平面ADD1A1. 又平面ABCD平面ADD1A1DA， P直线DA，CE、D1F、DA三线共点,方法总结 要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用平面的基本性质2，即证点在两个平面的交线上或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在此直线上,【例2】 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点问： (1)AM和CN是否是异面直线？说明理由； (2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由,考向二异面直线及其判定,解 (1)不是异面直线理由如下： 连
6、接MN、A1C1、AC. M、N分别是A1B1、B1C1的中点， MNA1C1. 又A1A綉C1C， A1ACC1为平行四边形， A1C1AC，MNAC， A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线,(2)是异面直线证明如下： ABCDA1B1C1D1是正方体， B、C、C1、D1不共面 假设D1B与CC1不是异面直线， 则存在平面，使D1B平面，CC1平面， D1，B、C、C1，与ABCDA1B1C1D1是正方体矛盾 假设不成立，即D1B与CC1是异面直线 方法总结 证明两直线为异面直线的方法： (1)定义法(不易操作) (2)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交
7、，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面,【训练2】 如图，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号),解析图(1)中，直线GHMN； 图(2)中，G、H、N三点共面，但M面GHN，因此直线GH与MN异面； 图(3)中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面； 图(4)中，G、M、N共面，但H面GMN， 因此直线GH与MN异面所以图(2)、(4)中直线GH与MN异面 答案(2)、(4),【例3】 (2013上海十四校联考)如图，三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC60，PAABAC
8、2，E是PC的中点 (1)求异面直线AE和PB所成的角的余弦值； (2)求三棱锥AEBC的体积,考向三异面直线所成的角,解(1)取BC的中点F，连结EF，AF，则EFPB，所以AEF就是异面直线AE和PB所成角或其补角 BAC60，PAABAC2， PA平面ABC，,方法总结 求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行,【训练3】 已知A是BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点， (1)求证：直线EF与BD是异面直 线； (2)若ACBD，AC
9、BD，求EF与 BD所成的角,(1)证明假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是BCD平面外的一点相矛盾故直线EF与BD是异面直线,在空间几何体中，求线段长及其范围，求侧面展开图的有关面积等，必要时可将几何体摊平，转化为平面几何体进行求解,方法优化6空间几何中有关量的计算方法,教你解题画图求解,1(2011四川卷改编)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，给出下列四个命题： l1l2，l2l3l1l3； l1l2，l2l3l1l3； l1l2l3l1，l2，l3共面； l1，l2，l3共点l1，l2，l3共面
10、其中正确命题的序号是_,高考经典题组训练,解析在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故错 答案,的棱DD1的中点，给出下列四个命题： 过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交； 过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直； 过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交； 过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行其中真命题是_(填写序号),2(2011江西卷改编)如图，M是正方体ABCDA
11、1B1C1D1,解析采用反证法：若不能作一条线，则两相交线确定一平面，从而证明AB，B1C1共面与它们异面矛盾，从而假设不正确，正确，也是同样的方法 答案,解析当点A在平面BCD上的射影H在BC上时，由CDCB，CDAH，得CD平面ABH，所以CDAB.即正确，均不正确 答案,4(2010辽宁卷改编)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是_,解析构成如图所示的两种三棱锥，,图(1)中有ACBDa，取AC中点E， ABBC2，则BEAC，,中，PD平面ABCD，PDDCBC1，AB2，ABDC，BCD90. (1)求证：PCBC； (2)求点A到平面PBC的距离,5. (2010江苏卷)如图，四棱锥PABCD,(1)证明PD平面ABCD，BC平面ABCD， PDBC. 由BCD90，得BCDC. 又PDDCD，PD平面PCD，DC平面PCD， BC平面PCD. PC平面PCD，PCBC.,
