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1、1.4.3 多自由度的耦合振动 一、弱耦合的二振子系统 (两个自由度) 设：两个振子： ； 。两个振子之间：用软弹簧 连接实现两个振子的耦合 ：弱耦合 又设：滑块1、滑块2的平衡位置为坐标原点，作两轴 ，则：势能为,拉格朗日函数： 由拉格朗日方程得到运动方程： 设：解的形式为 两个滑块以同一频率振动,关于 的齐次方程组 非零解条件： 的两组解： (具体值由初始条件定),满足正交归一条件： 耦合振子系统有两个振动频率： ，与 对应有两种确定的集体振动模式 一般情况下，振动是以上两种振动模式的叠加：,选新的广义坐标： ，令 则 分别表示两种独立的集体振动模式。这样： 从而得到新旧坐标之间的变换关系
2、：,新坐标系下的拉格朗日函数： 耦合项消失(退耦)，此时相互耦合 的二振子系统变成两个独立的振子系统。 定义： 为耦合振子系统的简正坐标。,二、对称矩阵的本征值与本征矢 为将二耦合振子系统推广到任意s个耦合振子系统，将前面关于 的方程改写成矩阵形式： 令 则,一列二行矩阵U可看成一个二维空间中的矢量。 一般： 对称矩阵S作用在一个任意二维空间矢量 上，会改变它的大小和方向，即 SU和U一般 不平行。 但： 表明此式中的矢量U受到S的作用后， 不改变方向，而只是乘上一个常数 。 定义： U矩阵S的本征矢， 与本征矢U对应 的本征值， 对称矩阵S的本征方程。,这样，求耦合二振子系统的集体振动模式归
3、结为求解矩阵S的本征值方程。 将以上方法推广到三维空间，对此空间中的矢量 写成矩阵形式： 于是 的矩阵S的本征值方程为：,或写为 如果 ，则称矩阵S为对称矩阵。 对于对称矩阵有如下定理。 定理一 的对称矩阵S有3个独立的本征矢。与本 征矢对应的本征值为实数。,证： 可写为 其中I为单位矩阵 将 写成矩阵形式,上式是关于3个未知数 的齐次方程组。非零解 条件： 由以上条件，可得 的3个根 。与每 个根相对应，可得到一个解 ，这就是和本 征值 对应的本征矢。 假定：S为实对称矩阵，即,本征值方程又可写成 取其复共轭 将 ，并利用 ，得到： 将上式左右两边同时乘以 ，并对j求和,将本征值方程的左右两
4、边同时乘以 ，并对i求和 因此 ，即 为实数。 另外的例子见p69-70。,注意：本征值方程是齐次方程，它的解可以乘上任意 常数。因此，和本征值对应的只是本征矢的方 向，而相应的本征矢的长度不确定。此时可以 将本征矢“归一化”成单位长度，即通过乘上 一个常数使得 满足 上式的矩阵形式 其中 是 的转置矩阵。,定理二 对称矩阵对应于不同本征值的本征矢相互正交。 证：和 、 对应的本征值方程分别为 将上两式分别乘上 和 并对i 求和：,对上两式的第一式的左边交换求和指标 ，有 又 ，所以 即 因 ，所以 ，即 。,从定理一和定理二可知， 的对称矩阵有三个独立本征矢，对应于三个本征值。如果这三个本征
5、值互不相等，则对应的三个本征矢相互垂直。 几何上，可画出三个本征矢，其长度分别为对应的本征值，用它们为主轴作一个椭球。这一椭球就是对称矩阵的几何表示，称之为对称矩阵的本征椭球。 用本征椭球的三个主轴(对称矩阵的三个本征矢)作为标架基矢作一个笛卡尔坐标系，则在此坐标系中，对称矩阵有对角形式,当坐标系转动时，矢量 变成 ，它的三个分量 是 的三个分量 的线性组合 上式的矩阵形式 其中矩阵 应满足一定的条件，以保证归一化的矢量 在转动以后仍然归一化，即有 由 的任意性，有 或,满足以上条件的矩阵称为正交矩阵。注意，代表物 理量的矩阵 是对称矩阵，即 ；而坐标转动矩 阵 则是正交矩阵，即 。 由于坐标
6、系的转动，使得表示物理量的矩阵 也发生变化。变化后的矩阵 与 的关系的推导： 在原坐标系中，将S 作用到另一矢量V，有：SU=V； 坐标系转动后，这一关系仍然应成立，即： 由U的任意性，有 。,而 ，所以 。 可以证明：在坐标转动下，代表物理量的矩阵S的本 征值和本征矢不变。 注：当坐标系变换到另一坐标系时，对称矩阵的各个 分量都要发生变化，矩阵不再是对角的了，但是 物理量的本征值和本征矢不因坐标系的变换而变 化，因而相应的椭球在空间中的位置和形状不变。,定理三 如果对称矩阵S的两个本征值相等 ， 则和它们对应的本征矢 和 的线性组合 也是S的对应于同一个本征值 的本 征矢。 证：本征值方程为
7、 将两式分别乘上 和 并相加，得,上式表明： 也是S的对应于同一个本征值 的 本征矢。 两个独立矢量 和 的线性组合形成一个平面。 因此定理三表明，和两个相等本征值对应的不是两个 特定的本征矢量，而是一个平面，在这一平面中的任 意矢量都是和这一本征值对应的本征矢。此时，对应 的椭球有两个主轴长度相同，是一个旋转椭球。沿这 两个主轴作的椭球的截面是一个圆。这一截面上的任 意矢量都可以看成椭球的主轴。可以从中选两个相互,垂直的矢量作为椭球的主轴。所以，对于任意一个 对称矩阵S，总可以找到三个相互垂直的方向，当矢量 沿这三个方向时，S作用到矢量 上不改变它的方向。 推广：s 维矢量的定义。 定义一
8、一组s个实数 称为s 维空间中的矢 量。每个 称为这一矢量的分量。 定义二 两个矢量的对应分量相乘并求和 称为它 们的标积。,定义三 如果两个矢量的对应分量成正比 就称它 们相互平行。 定义四 如果两个矢量的标积 等于零就称它们相 互正交。 矩阵的本征值方程成为 或者,定理四 的对称矩阵S有s 个独立的本征矢。对应的 本征值为实数。当这s个本征值各不相等时，对应的s 个 本征矢相互正交。可以将它们归一化成为一组s 个正交 归一的s 维矢量 。当在s 个本 征值中有m个本征值相等时，对应的m个独立本征矢的 线性组合形成一个m维线性子空间(m 维 “平面”)，其中 的任意矢量都是对称矩阵S对应于这
9、一本征值的本征矢。 可以从中选出m个相互正交的矢量并加以归一化，成为这 个m 维线性子空间中的正交归一完备基。对于所有有相等,本征值的本征矢都这样处理以后，得到一组s 个矢量 ，满足正交归一条件,三、多自由度耦合振子的集体振动模式 对两个自由度的二振子耦合振动系统，势能改写为：,推广到有s个自由度的一般情况，有 因此对于有s个自由度的振动系统，拉格朗日函数为：,拉格朗日方程： 又： 运动方程： 为了得到s个质点的集体振动模式，下面来求所有的 以同一频率振动的解。,解的形式： 代入运动方程得： 关于 的s个线性齐次方程组,非零解的条件： 关于 的s次代数方程：s个正实数 s个自由度的耦合振子系统有s个本征频率,另一种做法：将 乘以 ，并令 得到 对称矩阵 的本征值方程 有s个正的本征值 ,与 相应的本征矢为 。 又 因此 所有s个自由度 以同一 频率 按特定的方式的协调振动，是 一个集体振动模式，称为简正振动。,实际的振动是这s个简正振动的线性叠加： 用 表示第 个集体振动模式的 广义坐标，称为简正坐标。坐标变换为,不同的本征矢 有正交性，令 ，有 将 乘以 可以使之归一化 又,所以 可以证明，在新的广义坐标 下，拉格朗日退耦 合成为s个独立振动,
