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1、广东省普宁侨中2011 届高三数学入学摸底考试文 新人教 A 版 - 1 - / 8 普宁侨中 2011 届高三摸底考试 文科数学试题 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。请把正确答案的序号填涂在答卷上. 1. 复数 i i z 1 1 的虚部等于（） A 1 B.1 C.i D. i 2. 集合 2 0,2,Aa,1,Ba, 若1AB, 则a的值为（） A. 0 B. 1 C.-1 D. 1 3. 记等差数列的前n项和为 n S，若 24 4,20SS，则该数列的公差d（） A.2 B.3 C.6 D.7 4. 命题
2、“若f(x) 是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题 是（ ） A. 若 f(x) 是偶函数，则f(-x)是偶函数 B. 若 f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数 C. 若 f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数 D. 若 f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 5. 给出下列四个命题： 垂直于同一平面的两条直线相互平行； 垂直于同一平面的两个平面相互平行； 若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面. 其中真命题 的个数是（ ） A 1个 B2 个 C3 个 D4 个 6. 已知双曲线 2
3、 2 2 1 x y a 的焦点为)0 ,2(，则此双曲线的渐近线方程是（） A5yx B 5 5 yx C 3 3 yx D 3yx 7. 函数 x y2的反函数图象大致是（） A B C D 广东省普宁侨中2011 届高三数学入学摸底考试文 新人教 A 版 - 2 - / 8 正 视图侧视图 俯 视图 13 题 8. 要得到函数sinyx的图象，只需将函数) 6 sin(xy的图象（） A向右平移个单位B向右平移个单位 C向左平移个单位D向左平移个单位 9. 如下图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水， 容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（） ABCD 10在ABC所在的平面
4、上有一点P，满足PAPBPCAB，则PBC与ABC的面 积之比是（） A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 4 二 、填空题：本大题共5 小题，其中第14 第 15 为选做题，每小题5 分，共 20 分。 （一）必做题（1113 题） 11已知函数 a xxf)(的图象经过点（4，2） ，则)2(log2f= . 12设0,0.ab若 11 333 ab ab 是与的等比中项，则的最小值为 13下右图是一个算法的程序框图，该算法所输出的结果是 （二）选做题（1415 题，考生只能从中选做一题） 14 （ 坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点2 2, 4 作圆4sin的切线，则切线的
5、极坐标方程是 15 （ 几何证明选讲选做题）如图 4 所示，圆 O的直径6AB ， C为圆周上一点，3BC，过C作圆的切线l，过A作l的垂线 AD，垂足为D，则DAC Ot hh tO h tOOt h A D C B l 图 4 广东省普宁侨中2011 届高三数学入学摸底考试文 新人教 A 版 - 3 - / 8 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16 （本小题满分12 分） ABC的面积是30，内角,A B C所对边长分别为, ,a b c， 12 cos 13 A。 (1) 求ACAB； (2) 若1cb，求a的值。 17 （本小题满分
6、12 分） 为了比较注射A,B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200 只家兔做实验，将这200 只家兔随机地分成两组。每组100 只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B。下表 1 和表 2 分别是注射药物A和药物 B后的实验结果。 （疱疹面积单位： 2 mm） （1）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小； （2）完成下面2 2列联表，并回答能否有99.9 的把握认为“注射药物A 后的疱疹面 积与注射药物B后的疱疹面积有差异” 。 附： 2 2 () ()()()() n adbc K abcdac bd 广东省普宁侨中2011 届高三数学入学摸底考试文 新人教
7、 A 版 - 4 - / 8 18 （本小题满分14 分） 如图，在四棱锥P-ABCD中， PD 平面 ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2 ， AB DC ， BCD=90 0。 (1) 求证： PC BC ； (2) 求点 A到平面 PBC的距离。 19 （本小题满分14 分） 某工艺品加工厂准备生产甲、乙两种纪念品. 该厂所用的主要原料为A、B两种贵重金属， 已知生产一套甲纪念品需用原料A 和原料 B的量分别为4 盒和 3 盒，生产一套乙纪念品需用 原料 A和原料 B 的量分别为5 盒和 10 盒. 若甲纪念品每套可获利700 元，乙纪念品每套可获 利 1200 元，该厂月初一次性
8、购进原料A、B的量分别为200 盒和 300 盒. 问该厂生产甲、乙两 种纪念品各多少套，才能使该厂月利润最大，最大利润为多少？ 20( 本小题满分14 分) 已知函数f（x）=x，g（x）=xaln，aR。 （1） 若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x) 相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程； （2）设函数)()()(xgxfxh，当)(xh存在最小值时，求其最小值（a）的解析式； （3）对（ 2）中的（a） ，证明：当a（0，+）时，（a）1. 21 （本小题满分14 分) 设 12 , n C CC是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直 线 3 3
9、 yx相切，对每一个正整数n, 圆 n C都与圆 1n C 相 互外切，以 n r表示 n C的半径，已知 n r为递增数列 . （1）证明： n r为等比数列； （2）设 1 1r，求数列 n n r 的前n项和 . 广东省普宁侨中2011 届高三数学入学摸底考试文 新人教 A 版 - 5 - / 8 普宁侨中2011 届高三文科数学模底考试答案 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分。 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案B C B B B C C A B C 二、填空题： 11 、 2 1 12、4 13、 3 4 14、cos2 15、30 三、解答题
10、 16、解：由 12 cos 13 A，得 2125 sin1() 1313 A. 又 1 sin30 2 bcA，156bc. （1） 12 cos156144 13 AB ACbcA. （2） 222 2cosabcbcA 212 ()2(1cos)12 156 (1)25 13 cbbcA， 5a. 17、解： （1） 图 1 注射药物 A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图图 2 注射药物 B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 可以看出注射药物A 后的疱疹面积的中位数在65 至 70 之间，而注射药物B后的疱疹面 积的中位数在70 至 75 之间，所以注射药物A 后疱疹面积的中位数小于注射药物B
11、 后疱疹面 积的中位数。 （ 2）表 3 疱疹面积小于 2 70mm疱疹面积不小于 2 70mm合计 注射药物 A 70a30b100 注射药物 B 35c65d100 合计10595200n 56.24 95105100100 )30356570(200 2 2 K 由于828.10 2 K，所以有 99.9%的把握认为 “注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后 的疱疹面积有差异”. 广东省普宁侨中2011 届高三数学入学摸底考试文 新人教 A 版 - 6 - / 8 4x+5y-200=0 3x+10y-300=0 A o 10 x y 10050 20 30 40 18、 （ 1）证明：因
12、为PD平面 ABCD ，BC平面 ABCD ，所以 PD BC 。 由 BCD=90 0，得 CD BC ， 又 PDDC=D ，PD 、DC平面 PCD ， 所以 BC平面 PCD 。 因为 PC平面 PCD ，故 PC BC 。 （2） （方法一）分别取AB 、PC的中点 E、F，连 DE 、DF ，则： 易证 DE CB ，DE 平面 PBC ，点 D、E到平面 PBC的距离相等。 又点 A到平面 PBC的距离等于E到平面 PBC的距离的 2 倍。 由（ 1）知： BC 平面 PCD ，所以平面PBC 平面 PCD于 PC ， 因为 PD=DC ，PF=FC ，所以 DFPC ，所以 D
13、F平面 PBC于 F。 易知 DF= 2 2 ，故点 A到平面 PBC的距离等于2。 （方法二）体积法：连结AC 。设点 A到平面 PBC的距离为h。 因为 AB DC ， BCD=90 0，所以 ABC=900。 从而 AB=2 ，BC=1 ，得ABC的面积1 ABC S。 由PD 平 面ABCD 及PD=1， 得 三 棱 锥P-ABC 的 体 积 11 33 ABC VSPD。 因为 PD 平面 ABCD ，DC平面 ABCD ，所以 PD DC 。 又 PD=DC=1 ，所以 22 2PCPDDC。 由 PC BC，BC=1 ，得PBC的面积 2 2 PBC S。 由 APBCPABC
14、VV， 11 33 PBC ShV，得2h， 故点 A到平面 PBC的距离等于2。 19、解 : 设该厂每月生产甲、乙两种纪念品分别为 , x y套，月利润为z元，由题意得 .0 , 0 ,300103 ,20054 y x yx yx （,x yN） 目标函数为7001200zxy 作出可行域如图所示 目标函数可变形为 120012 7z xy， 473 , 51210 当 7 121200 z yx通过图中的点A时， 1200 z 最大，这时Z 最大。 解 45200 , 310300 xy xy 得点 A的坐标为（ 20,24 ） ， 10 分 将点(20,24)A代入7001200zx
15、y得 max 7002012002442800z元 广东省普宁侨中2011 届高三数学入学摸底考试文 新人教 A 版 - 7 - / 8 答: 该厂生产甲纪念品20 套，乙纪念品24 套时，月利润最大，最大利润为42800 元. 20、解： （1）f (x)= 1 2x ,g (x)= a x (x0), 由已知得x=alnx ， 1 2x = a x ，解得a= 2 e ,x=e 2, 两条曲线交点的坐标为（e 2,e ） 切线的斜率为k=f (e 2)= 1 2e , 切线的方程为y-e= 1 2e (x-e 2). （2）由条件知xaxxhln)(),0(x x ax x a x xh
16、2 2 2 1 )( （i ）当a0 时，令h (x)=0, 解得 x= 2 4a, 所以当 0x 2 4a时,h (x) 2 4a时，h (x)0，h(x)在（ 0， 2 4a）上递增。 所以x 2 4a是h(x) 在（ 0，+）上的唯一极值点，且是极小值点， 从而也是h(x)的最小值点。 所以 （ a）=h( 2 4a)=2a-aln 2 4a=2 (ii)当a0 时，h(x)=(1/2-2a) /2x0,h(x)在（ 0，+）递增，无最小值。 故 h(x) 的最小值（a）的解析式为2a(1-ln2a) (ao) （3）由（ 2）知 （a） =2a(1-ln2a) 则 1（ a）=-2ln2a，令 1（ a）=0 解得a=1/2 当 0a0，所以 （a）在 (0,1/2)上递增； 当a
