《高中数学第八章第15课时圆锥曲线教案对称问题教案教师专用教案新人教A版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第八章第15课时圆锥曲线教案对称问题教案教师专用教案新人教A版（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高中数学第八章第15 课时圆锥曲线教案对称问题教案教师专用教案新人教 A 版 1 / 13 圆锥曲线教案对称问题教案 教学目标 1引导学生探索并掌握解决中心对称及轴对称问题的解析方法 2通过对称问题的研究求解，进一步理解数形结合的思想方法，提高分析问题和解决 问题的能力 3通过对称问题的探讨，使学生会进一步运用运动变化的观点，用转化的思想来处理 问题 教学重点与难点 两曲线关于定点和定直线的对称知识方法是重点把数学问题转化为对称问题，即用 对称观点解决实际问题是难点 教学过程 师：前面学过了几种常见的曲线方程，并讨论了曲线的性质今天这节课继续讨论有 关对称的问题大家想一想：点P(x， y) 、
2、P (x ， y)关于点 Q(x0，y0) 对称，那么它们 的坐标应满足什么条件？ 师： P(x ，y) ，P(x ， y) 关于原点对称，那么它们的坐标满足什么条件？ 生： P和 P 的中点是原点即x=-x 且 y=-y 师：若 P和 P关于 x 轴对称，它们的坐标又怎样呢？ 生： x=x且 y=-y 师：若 P和 P关于 y 轴对称，它们的坐标有什么关系？ 生： y=y且 x=-x 师：若 P和 P关于直线y=x 对称，它们的坐标又会怎样？ 生： y=x且 x=y 高中数学第八章第15 课时圆锥曲线教案对称问题教案教师专用教案新人教 A 版 2 / 13 生：它们关于直线y=x 对称 师：
3、若 P与 P关于直线Ax+By+C=0对称，它们在位置上有什么特征？ 生： P和 P 必须在直线Ax+By+C=0的两侧 师：还有补充吗？ 生： PP 的连线一定与直线Ax+By+C=0垂直 师： P与 P 在直线Ax+By+C=0的两侧且与直线垂直就能对称了吗？ 生：还需要保证P和 P到直线Ax+By+C=0的距离相等 师： P与 P 到直线Ax+By+C=0的距离相等的含义是什么？ 生：就是 P与 P的中点落在直线Ax+By+C=0上， 换句话说P与 P的中点坐标满足直 线方程 Ax+By+C=0 师：下面谁来总结一下，两点P(x，y) 、P(x ， y) 关于直线Ax+By+C=0对称应
4、满 足的条件？ 生：应满足两个条件第一个条件是PP 的连线垂直于直线Ax+By+C=0 ，第二个条件 是 P，P的中点应落在直线Ax+By+C=0上 师：这两个条件能否用方程表示呢？ (在黑板上可画出图形( 如图 2-72) ，可直观些 ) 生：方程组： 高中数学第八章第15 课时圆锥曲线教案对称问题教案教师专用教案新人教 A 版 3 / 13 师：这个方程组成立说明了什么？它能解决什么问题？ 生：方程组中含有x， y，也可认为这是一个含x，y的二元一次方程组换句 话说，给定一个点P(x， y) 和一条定直线Ax+By+C=0 ，可以求出P点关于直线Ax+By+C=0的 对称点 P(x ， y
5、) 的坐标 师：今后有很多有关对称问题都可以用此方法处理，很有代表性但也还有其他方法， 大家一起看下面的例题 例 1 已知直线l1和l2关于直线2x-2y+1=0 对称 ( 如图 2-73) ，若l1的方程是 3x-2y+1=0 ，求l2的方程 (选题目的：熟悉对称直线方程) 师：哪位同学有思路请谈谈 生：先求出已知两直线的交点，设l2的斜率为k，由两条直线的夹角公式可求出k，再 用点斜式求得l2的方程 (让这位同学在黑板上把解题的过程写出来，大家订正) 高中数学第八章第15 课时圆锥曲线教案对称问题教案教师专用教案新人教 A 版 4 / 13 由点斜式，l2的方程为4x-6y+3=0 师：还
6、有别的解法吗？ 生：在直线l1上任取一点，求出这点关于2x-2y+1=0 对称的点，然后再利用交点，两 点式可求出l2的直线方程。 (让这位学生在黑板上把解题过程写出来，如有错误，大家订正) 解由方程组： 师：还有别的解法吗？ 生：在l2上任取一点P(x， y) ，则 P点关于 2x-2y+1=0 对称的点P(x ， y) 在l1 上，列出P，P的方程组，解出x， y，代入l1问题就解决了 高中数学第八章第15 课时圆锥曲线教案对称问题教案教师专用教案新人教 A 版 5 / 13 师：请你到黑板上把解题过程写出来 解设 P(x ，y) 为l2上的任意一点， 则 P点关于直线2x-2y+1=0
7、对称，点P (x ， y) 在l1上( 如图 2-75) ， 又因为 P(x ， y) 在直线l1：3x-2y+1=0 上， 所以 3x-2y +1=0 即l2的方程为： 4x-6y+3=0 师：很好，大家刚才的几种解法是求对称直线方程的常规方法那么，如果把l1改为 曲线，怎样求曲线关于一条直线对称的曲线方程呢？ 引申：已知：曲线C：y=x 2，求它关于直线 x-y-2=0对称的曲线方程 (选题目的：进一步熟悉对称曲线方程的一般方法) 师：例 1 中的几种解法还都适用吗？ 生：第二种和第三种方法还能适用 师：谁来试一试？ 高中数学第八章第15 课时圆锥曲线教案对称问题教案教师专用教案新人教 A
8、 版 6 / 13 生：可先在y=x 2 上任取一点P0(x0， y0) ，它关于直线的对称点P(x1，y1) ，可得它们 的交点，从中解出x0，y0代入曲线y=x 2 即可 ( 如图 2-76) (让学生把他的解法写出来) 解设 P0(x0， y0) 是曲线 C ： y=x 2 上任意一点， 它关于直线x-y-2=0对称的点为P (x1， y1) ，因此，连结P0(x0，y0) 和 P(x1， y1) 两点的直线方程为y-y0=-(x-x 0) 师：还有不同的方法吗？ 生：用两点关于直线对称的方法也能解决 师：把你的解法写在黑板上 生： 解： 设 M(x，y) 为所求的曲线上任一点，M0(x
9、0，y0)是 M关于直线x-y-2=0对称的 点，所以M0定在曲线C：y=x 2 上 代入 C的方程可得x=4y 2+4y+6 师：大家再看一个例子 高中数学第八章第15 课时圆锥曲线教案对称问题教案教师专用教案新人教 A 版 7 / 13 点出发射到x 轴上后，沿圆的切线方向反射，求这条光线从A点到切点所经过的路 程 ( 如图 2-77) 师：解这题的关键是什么？ 生：关键是找到x 轴的交点 师：有办法找到交点吗？ 生：没人回答 师：交点不好找，那么我们先假设M就是交点，利用交点M对解决这个问题有什么帮 助吗？ 生：既然 AM是入射光线， MD为反射光线， D为切点，这样入射角就等于反射角，
10、从而 能推出 AMO= DMx 师：我们要求 |AM|+|MD| 能解决吗？ 生：可以先找A关于 x 轴的对称点A(0 ，-2) ，由对称的特征知：|AM|=|A M|，这样 把求 |AM|+|MD| 就可以转化为 |A M|+|MD|即|A D| 师： |A D|怎么求呢？ 生： |A D|实际上是过A点到圆切线的长，要求切线长，只需先连结半径CD ，再连 结 AC，在 RtACD ，|CD| 和|A C|都已知， |AD| 就可以得到了( 如图 2-77) (让这位学生把解答写在黑板上) 解已知点 A关于 x 轴的对称点为A(0，-2) ，所求的路程即为 高中数学第八章第15 课时圆锥曲线
11、教案对称问题教案教师专用教案新人教 A 版 8 / 13 师：巧用对称性，化简了计算，很好哪位同学能把这个题适当改一下，变成另一个 题目 生：若已知A(0，2)，D(4，1)两定点，在x 轴上，求一点P，使得 |AP|+|PD| 为最短 师：谁能解答这个问题？ 生：先过A(0，2) 关于 x 轴的对称点A(0 ，-2) ， 连结 AD与 x 轴相交于点P，P为所求 ( 如图 2-78) 师：你能保证 |AP|+|PD| 最短吗？ 生：因为 A，A关于 x 轴对称，所以 |AP|=|A P| ，这时 |AP|+|PD|=|AD|为线段，当 P点在 x 轴其他位置上时，如在 P处，那么， 连结 A
12、P 、AP和 P D这时 |AP|+|P D|=|A P|+|P D| |A D|理由 ( 三角形两边之和大于第三边) 所以 |A D|为最短即P 为所求 师：这题还能不能再做些变形，使之成为另一个题目？ x 轴和圆 C上的动点，求|AM|+|MP| 的最小值 师：哪位同学能够解决？ 生：先作 A点关于 x 轴的对称点A(0 ，-2) ，连结 A和圆心C，AC交 x 轴于 M点， 交圆于 P点，这时 |AM|+|MP| 最小 ( 如图 2-79) 高中数学第八章第15 课时圆锥曲线教案对称问题教案教师专用教案新人教 A 版 9 / 13 师：你怎样想到先找A点关于 x 轴的对称点A的呢？ 生：
13、由前题的结论可知，把AM线段搬到x 轴下方，尽可能使它们成为直线，这样|A M|+|MP| 最小 师：很好，大家一起动笔算一算( 同时让这位学生上前面书写) 生：解 A点关于 x 轴的对称点为A(0 ，-2) ，连 AC交 x 轴于 M ，交圆 C于 P点，因 为 A(0 ，-2) ， C(6，4) ，所以 |A C|= 师：我们一起看下面的问题 例 3 若抛物线y=ax 2-1 上总存在关于直线 x+y=0 对称的两点，求a的范围 师：这题的思路是什么？ 生：如图2-80，设 A(x1，y1) ，B(x2， y2) 是抛物线上关于直线x=- 高中数学第八章第15 课时圆锥曲线教案对称问题教案
14、教师专用教案新人教 A 版 10 / 13 师：很好，谁还有不同的解法吗？ 生：曲线y=ax 2-1 关于直线 x+y=0 对称曲线方程为：-x=ay 2-1 ，解方 师：今天我们讨论了有关点，直线，曲线关于定点，定直线，对称的问题解决这些 问题的关键所在就是牢固掌握灵活运用两点关于定直线对称的思想方法，结合图象利用数形 结合思想解决问题 作业： 1一个以原点为圆心的圆与圆：x 2+y2+8x-4y=0 关于直线 l对称，求直线l的方程 (2x-y+5=0) 2 ABCD 是平行四边形，已知点A(-1 ，3) 和 C(-3 ，2) ，点 D在直线 x-3y-1=0上移动， 则点 B的轨迹方程是
15、 _(x-3y+20=0) 3若光线从点A(-3 ，5) 射到直线3x-4y+4=0 之后，反射到点B(3， 9)，则此光线所经过的路程的长是_(12) 4已知曲线C：y=-x 2+x+2 关于点 (a ，2a)对称的曲线是 C，若 C与 C有两个不同的 公共点，求a 的取值范围(-2 a1) 高中数学第八章第15 课时圆锥曲线教案对称问题教案教师专用教案新人教 A 版 11 / 13 设计说明 1这节课是一节专题习题课，也可以认为是复习题，通过讨论对称问题把有关的知识 进行复习， 最重要的是充分突出以学生为主体让学生讨论和发言，就是让学生参加到数学 教学中来，使学生兴趣盎然，思维活跃，同时对
16、自己也充满了信心这样，才有利于发挥学 生的主动性，有利于培养学生的独立思考的习惯，发展学生的创造性和思维能力因此，在 数学教学中要有一定的时间让学生充分地发表自己的见解，从而来提高他们的兴趣，发展他 们的能力 2这节课自始至终贯穿数形结合的数学思想，让学生在脑海里留下一个深刻的印象， 就是对称问题， 归根结底都可以化成点关于直线的对称问题，即可用方程组去解决反过来， 一直线与一曲线的方程组消元后得到一元二次方程，若这二次方程的判别式大于零，也可得 直线与曲线有两个交点，这种从形到数， 再由数到形的转化为我们处理解析几何问题带来了 便利在解题时，只有站在一定的高度上去处理问题，思路才能开阔，方法才能灵活，学生 的能力才能真正的得到培养，同时水平才能提高得较快 3习题课的一个中心就是解题，怎样才能让学生做尽可能少的题，从而让学生掌握通 理通法， 这是一个值得研究和探讨的问题本节课采取了让学生把题目进行一题多变，一题 多解， 从中使学生悟出一些解题办法和规律，从而达到
