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1、1 曲线运动经典习题归类 渡河问题 1. 汽艇在宽为400 m 、水流速度为2 m/s 的河中横渡河面，已知它在静水中的速度为4 m/s. 求： （1）汽艇要垂直横渡到达正对岸，船头应取什么航向？ （2）如果要在最短时间内过河，船头应取什么航向？最短时间为多少？ （3）若水流速度为4 m/s ，船在静水中的速度为2 m/s ，则船能过河的最短航程是多少？ 绳联物体的速度问题 1.如图所示，汽车甲以速度v1拉汽车乙前进，乙的速度为v2， 甲、乙都在水平面上运动，求v1v2 2. 如图所示，人在河岸上用轻绳拉船，若人匀速行进，则船将做（） A.匀速运动B.减速运动 C.加速运动D.先加速、后减速运
2、动 平抛运动问题 1. 若质点以V0正对倾角为的斜面水平抛出 ,如果要求质点到达斜面的位移最小，求飞 行时间为多少 ? 解析： (1)连接抛出点O 到斜面上的某点O1 ，其间距 OO1为位移大小。当OO1 垂直于斜面时位移最小。 (2)分解位移：利用位移的几何关系可得 tg 2 , 2 1 0 2 0 g v t gt tv y x tg 。 2. 如图所示，在倾角为的斜面上以速度 0 v水平抛出一小球，该斜面足够长，则从抛 出开始计时，经过多长时间小球离开斜面的距离的达到最大，最大距离为多少？ O x v0 y 解析： 取沿斜面向下为x轴的正方向， 垂直斜面向上为y轴的正方向， 如图所示，
3、在y 轴上，小球做初速度为sin 0 v、加速度为cosg的匀变速直线运动，所以有 cos2)sin( 2 0 2 gyvvy tgvvycossin 0 甲 乙 v1 v2 v ） v0 y x 2 当0 y v时，小球在y轴上运动到最高点，即小球离开斜面的距离达到最大。 由式可得小球离开斜面的最大距离 cos2 )sin( 2 0 g v yH 当0 y v时，小球在y轴上运动到最高点，它所用的时间就是小球从抛出运动到离开 斜面最大距离的时间。由式可得小球运动的时间为tan 0 g v t 3. 从空中同一点沿水平方向同时抛出两个小球，它们的初速度大小分别为 1 v和 2 v，初 速度方向
4、相反，求经过多长时间两小球速度之间的夹角为90？ 解析：设两小球抛出后经过时间t，它们速度之间的夹角为90，与竖直方向的夹角分 别为和， 对两小球分别构建速度矢量直角三角形如图所示，由图可得 1 cot v gt 和 gt v2 tan 又因为90，所以tancot 由以上各式可得 gt v v gt 2 1 ，解得 21 1 vv g t 类平抛运动分析 1. 在光滑的 水平面 内，一质量m 1 kg 的质点以速度v010 m/s 沿x轴正方向运动， 经过原点后受一沿y轴正方向 ( 竖直方向 ) 的恒力F15 N作用，直线OA与x轴成37， 如图所示曲线为质点的轨迹图(g取 10 m/s 2
5、，sin 37 0.6 ，cos 37 0.8) ，求： (1) 如果质点的运动轨迹与直线OA相交于P点，质点从O点到P点所经历的时间以及P 点的坐标； (2) 质点经过P点时的速度大小。 解析 质点在水平方向上无外力作用做匀速直线运动，竖直方向受恒力F和重力mg 作用做匀加速直线运动。 由牛顿第二定律得：aF mg m 1510 1 m/s 25 m/s2。 设质点从O点到P点经历的时间为t，P点坐标为 (xP，yP)， 3 则xPv0t，yP 1 2at 2 又 tan yP xP 联立解得：t3 s ，xP30 m，yP22.5 m 。 (2) 质点经过P点时沿y轴正方向的速度vyat1
6、5 m/s 故P点的速度大小vPv0 2 vy 2 5 13 m/s 。 答案 (1)3 s xP30 m，yP22.5 m (2)513 m/s 2. 如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为，一物块 ( 可看成质点 ) 沿斜面左上方 顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，试求： (1) 物块由P运动到Q所用的时间t； (2) 物块由P点水平射入时的初速度v0； (3) 物块离开Q点时速度的大小v。 解析： (1) 沿斜面向下的方向有mgsin ma l1 2at 2 联立解得t 2l gsin 。 (2) 沿水平方向有bv0t v0 b t b gsin 2l 。 (3) 物块离开Q点时
7、的速度大小vv0 2 at 2 b 24l2 gsin 2l 。 平抛运动的综合运用 1. 如图所示，在距地面高为H45 m 处，有一小球A 以初速度v010 m/s 水平抛出，与此 同时，在A 的正下方有一物块B 也以相同的初速度v0同方向滑出， B 与地面间的动摩擦因 数为 0.5，A、B 均可看做质点，空气阻力不计，重力加速度g 取 10 m/s2，求： (1)A 球从抛出到落地的时间和这段时间内的水平位移； (2)A 球落地时， A、B 之间的距离 解析： (1)根据 H 1 2gt 2 得 t 3 s，由 xv0t得 x 30 m. (2)对于 B 球，根据F合ma， F合 mg，可
8、得加速度大小a5 m/s 2.判断得 在 A 落地之前B 已经停止运动，xAx30 m，由 v 2 02axBxB10 m， 则 xxAxB20 m 答案： (1)3 s30 m(2)20 m 2. 如图所示，一小球从平台上水平抛出，恰好落在临近平台的一倾角为 53 的 光滑斜面顶端，并刚好沿光滑斜面下滑，已知斜面顶端与平台的高度差h0.8 m， g10 m/s2， sin 53 0.8，cos 53 0.6，则 (1)小球水平抛出的初速度v0是多大？ (2)斜面顶端与平台边缘的水平距离s是多少？ (3)若斜面顶端高H20.8 m，则小球离开平台后经多长时间t 到达斜面底端？ 4 解析： (1
9、)由题意可知：小球落到斜面上并沿斜面下滑，说明此时小球速度方向与斜面平行， 否则小球会弹起，所以vyv0tan 53， v2y2gh，则 vy4 m/s， v03 m/s. (2)由 vygt1得 t10.4 s，xv0t1 30.4 m1.2 m. (3)小球沿斜面做匀加速直线运动的加速度agsin 53，初速度v5 m/s.则 H sin 53 vt2 1 2at 2 2，解得 t22 s(或 t2 13 4 s 不合题意舍去) 所以 tt1t22.4 s. 答案： (1)3 m/s(2)1.2 m(3)2.4 s 3. 如图所示，在距地面80 m 高的水平面上做匀加速直线运动的飞机上每隔
10、1 s依次放下a、 b、c 三物体，抛出点a、b 与 b、c 间距分别为45 m 和 55 m，分别落在水平地面上的A、B、 C 处求： (1)飞机飞行的加速度； (2)刚放下 b 物体时飞机的速度大小； (3)b、c 两物体落地点BC 间距离 解析： (1)飞机水平方向上，由a 经 b 到 c 做匀加速直线运动， 由 xaT2得， a x T2 bcab T2 10 m/s2. (2)因位置 b 对应 a 到 c 过程的中间时刻，故有vb abbc 2T 50 m/s. (3)设物体落地时间为t，由 h 1 2gt 2 得： t 2h g 4 s，BC 间距离为： BCbcvct vbt，
11、又 vcvbaT，得： BCbcaTt95 m. 答案： (1)10 m/s2 (2)50 m/s(3)95 m 4.如图所示，在水平地面上固定一倾角 37，表面光滑的斜面体，物体A以v16 m/s 的初速度沿斜面上滑，同时在物体A的正上方， 有一物体B以某一初速度水平抛出。如果当 A上滑到最高点时恰好被B物体击中。A、B均可看作质点 (sin 37 0.6 ，cos 37 0.8 ， g取 10 m/s 2) 。求： (1) 物体A上滑到最高点所用的时间； (2) 物体B抛出时的初速度v2； (3) 物体A、B间初始位置的高度差h。 解析： (1) 物体A上滑过程中，由牛顿第二定律得： mg
12、sin ma 代入数据得：a6 m/s 2 设物体A滑到最高点所用时间为t，由运动学公式： 0v1at 解得：t1 s 5 (2) 物体B平抛的水平位移：x 1 2v 1tcos 37 2.4 m 物体B平抛的初速度：v2x t 2.4 m/s (3) 物体A、B间的高度差：hhAhB 1 2 v1tsin 37 1 2gt 26.8 m 答案： (1)1 s (2)2.4 m/s (3)6.8 m 5. 抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动 现讨论乒乓球发球问题，设球台 长2L、网高 h，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考 虑乒乓球的旋转和空气阻力
13、(设重力加速度为g) 若球在球台边缘O点正上方高度为h1处以速度 1 v水平发出，落在球台的P1点(如图实线所 示)，求 P1点距 O点的距离 x1 若球在 O点正上方以速度 2 v水平发出，恰好在最高点时 越过球网落在球台的P2(如图虚线所示 )，求 2 v的大小 若球在 O正上方水平发出后， 球经反弹恰好越过球网且刚 好落在对方球台边缘P3，求发球点距 O点的高度 h3 【 解 析 】 设 球 飞 行 时 间 为t1， 根 据 平 抛 运 动 的 规 律: 2 11 2 1 gth, 111tvx 解得 g h vx 1 11 2 设发球高度为h2，飞行时间为 t2，同理根据平抛运动的规
14、律，有 2 22 2 1 gth， 222 tvx， 且hh2，Lx2 2由以上各式得 h gL v 22 2 如图所示，发球高度为h3，飞行时间为 t3，同理根据平抛运动的规律， 得 2 33 2 1 gth， 333 tvx，且Lx23 3 ， 设球从恰好越过球网到最高点的时间为t，水平距离为s， 有 2 3 2 1 gthh，tvs 3 ，由几何关系知Lsx3 ，联式，解得hh 3 4 3 【答案 】 g h vx 1 11 2 h gL v 22 2 hh 3 4 3 6.愤怒的小鸟是一款时下非常流行的游戏，游戏中的故事也相当有趣， 如图甲所示，为了报复偷走鸟蛋的肥猪们，鸟儿以自己的身
15、体为武器，如炮弹 般弹射出去攻击肥猪们的堡垒某班的同学们根据自己所学的物理知识进行假 设：小鸟被弹弓沿水平方向弹出， 如图乙所示，若 h10.8 m， l12 m， h22.4 m， 6 l21 m，小鸟飞出后能否直接打中肥猪的堡垒？请用计算结果进行说明(取重 力加速度 g10 m/s 2) 解析(1)设小鸟以 v0弹出后能直接击中堡垒，则 h1h2 1 2gt 2 l1l2v0t t 2（h1h2） g 2（0.82.4） 10 s0.8 s 所以 v0 l1l2 2 21 0.8 m/s3.75 m/s 设在台面的草地上的水平射程为x，则 xv0t1 h11 2gt 2 1 所以 xv0
16、2h1 g 1.5 mV0时物体离开 锥面，物体飘起绳与轴线夹角增大到某值。 （1）当 VgL 6 1 时 VV0物体飞离锥面，此时物体只受重力mg 和拉力 T 作用，设绳与轴 H V 1 0 线的夹角为: Tsin sin 2 L mV Tcos mg 将 V代入两式消去可得 2T 2 3mgT m 2g2 T 0 解取合理值 T 2mg 4. 如图所示， 一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴 q转动， 同内壁粗糙， 筒口半径和筒高分 别为R和H,筒内壁 A 点的高度为筒高的一半，内壁上有一质量为m的小物块，求： 当筒不转动时，物块静止在筒壁A 点受到的摩擦力和支持力的大小； 当物块在A 点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度。 【解析】物块受力如图所示 由平衡条件得cos0 N Fmg sin0 f Fmg其中 22 sin H RH 得摩擦力为 22 sin f mgH Fmg RH 支持力为 22 cos N mgR Fm
