高中数学函数的应用教学研究

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1、用心 爱心 专心- 1 - 专题讲座 高中数学“函数的应用”教学研究 一、关于函数应用的深层理解 （一）对函数图象的深入理解 在函数图象上，定义域、值域、对应关系、单调性、奇偶性和周期性一览无遗. 因此，快 速准确地作出函数图象成为学习函数的一项基本功，而读图也从“形”的角度成为解决函数 问题及其他相关问题的一种重要方法. 作函数图象最基本的方法是列表描点作图法. 引例：区别下面三个集合： 函数的图象： （二）谈谈数形结合思想 “数缺形时少直观，形缺数时难入微” 华罗庚 1何时要用数形结合？ 引例 1 不等式的解集是 _. 引例 2 求方程的解的个数 . 用心 爱心 专心- 2 - 2运用数形

2、结合需要注意什么？ 引例 3 方程在内的解有（） （ A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D ） 4 个 引申：当时，有. （三）函数的应用在数学知识体系中的地位及作用 数学的“学科价值”、“应用价值”、“文化价值” 课标数学探究、数学建模、数学文化. 数学应用是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体 验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合 运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发 展学生的创新意识和实践能力。 函数的应用 （ 1）结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及

3、根的个数，从而了解函数的 零点与方程根的联系。 （ 2）根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方 法是求方程近似解的常用方法。 （ 3）利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线 上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。 （ 4）收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函 数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。 （四）函数的应用教学重点和难点 教学重点： 用心 爱心 专心- 3 - 1函数的图象及其应用 2函数的值域及其应用 3函数的零点与二分法 4函数的实际应用问题 教学难点： 1应用函数图

4、象解决简单问题 2确定函数的值域常规方法 3函数的零点存在性的判定 4运用函数知识解决实际问题 二、函数的应用教学建议 （一）如何有效运用函数的图象帮助我们分析解决问题 怎样做函数的图象 基本方法：列表描点作图法. 常用的函数图象变换有： 1平移变换 ：将的图象向左（）或向右（）平移个单位可得 . ：将的图象向上（）或向下（）平移个单位可得 . 2对称变换 ：作关于轴的对称图形可得. ：作关于轴的对称图形可得. 用心 爱心 专心- 4 - 3翻折变换 ：将的图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴的上方，其他部分 不变即得 . ：此偶函数的图象关于轴对称，且当时图象与的图象重合 . 例 1：做出下列函数

5、的图象： （ 1）； （2）. 答：（ 1）将的图象左移1 个单位，得到函数 的图象； （ 2）将的图象左移1 个单位， 得到函数的图象， 再将的 的图象 . 图象向下平移一个单位得到函数 例 2：作函数的图象 . 分析：方法一（描点法） 分析函数的性质，得 定义域：； 值域：， 并且当时，； 当时，所以. 用心 爱心 专心- 5 - 与坐标轴的交点：； 对称性：偶函数，关于轴对称； 单调性：当时，是减函数； 用同样的方法可得为函数的减区间；为函数的增区间. 结合上面的分析，经过简单的描点作图可得如右图所示的函数图象. 方法一（函数图象变换法） 先作函数的图象，再作的图象，再作的图象 . 如下

6、图： 作函数图象之前，先对函数的性质作些研究是必要的，它可以简化作图过程. 比如在明确 本题函数为偶函数之后，就只需做出的图象了 . 函数图象是函数规律的直接表现，函数性质对函数规律进行了理论上的刻画，两者之间 是具体与抽象的两方面，它们相互支撑，是学习、研究函数的两个入手点. 对于方法二， 有些学生用这种方法易出现的错误是：先作函数的图象，再作 的图象，再作的图象 . 用心 爱心 专心- 6 - 在这个过程中， 由变到时， 误以为应遵循变化到 的规律 . 事实上，若，则，变换得不到要得的函数图象. 例 3：函数的部分图象是（） （A） （B） （C） （D） 分析：对于函数， ， 所以为奇函

7、数，否定（A）（ C）选项 . 又，当时， 所以在原点右侧附近时值为负，否定（B ）选项 . 于是选（ D）. 例 4：已知，且，那么下列结论中不可能 成立的是（） A. B. C. D. 以下为备用试题： 例 5：若, 则函数的图象一定不过( ) 用心 爱心 专心- 7 - A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 分析：将图象向下平移个单位（）， 依图象可知函数的图象一定不过第四象限选D. 例 6：已知, 且, 则的大小关系为 . 分析 : 先画的图象；然后将图象下移一个单位得到 的图象；最后将轴下方的图象对称翻折到轴上方，原 轴上方的图象不变，就得到了的图象 . 函

8、数的图象如图所示. 所以在是减函数 , 所以, 所以. 例 7： 已知函数是定义在上的偶函数， 当 时，的图象如图所示，那么不等式解集是 . 分析：根据偶函数图象关于轴对称，补全函数在 上的图象 . 解不等式，就是“找到”使得的所有的，就是在函数的 图象上找到使得纵坐标小于或等于零的所有自变量. 根据补全的图象，识图可得不等式解集为. 用心 爱心 专心- 8 - 思考：如果问“不等式解集是 . ”该怎样利用已知函数的图象呢？ 答：. 例 8：在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示出 的图象如图所示，给出下列说法： 前 5 分钟温度增加的速度越来越快； 前 5 分钟

9、温度增加的速度越来越慢； 5 分钟后温度保持匀速增加； 5 分钟后温度保持不变. 其中说法正确的是 . 分析： 5 分钟后温度保持不变，这一点通过图象易于判断. 前 5 分钟的情况，通过图象可以看到每分钟的变化率越来越小，于是变化速度是越来越 慢的 . 所以正确. 例 9：已知函数，求证：函数的图象关于点成中心 对称图形 . 证明：设是函数的图象上任意一点，则 （）， 设关于的对称点为， 用心 爱心 专心- 9 - 根据中点坐标公式得解得 以下只需证明也在函数的图象上 . 因为， 而， 所以， 即在函数的 图象上 . 所以函数的图象关于点成中心对称图形. （二）确定函数值域时需要注意什么 什么

10、是函数的值域？ 求函数值域时的注意事项 例：设实数满足, 则的最大值是（） （ A）（ B ）（C）（ D） 常见简单函数求值域的方法： 最大值与最小值是研究变量问题时常需要考虑的问题，也是高中数学中最重要的问题之 一. 函数的最大值、最小值问题常与实际问题联系在一起. 函数的最值与值域在概念上是完全不同的，但对于一些简单函数，其求法是相通的. 本小节主要讨论两类常见的函数最值的解决方法及其应用. 1. 基本初等函数在特定区间上的最值（或值域）问题. 用心 爱心 专心- 10 - 解决这类问题的方法是：作出函数图象，观察单调性，求出最值（或值域）. 2. 一些简单的复合函数的最值问题.解决这类

11、问题的方法通常有： （ 1）通过作出函数图象变成第1 类问题； （ 2）通过换元法转化成第1 类问题； （3）利用平均值定理求最值； （4）通过对函数单调性进行讨论进而求出最值. 其中讨论单调性的方法可以用单调性定义 或导数的知识（导数的方法在后面相应章节复习）. （5）转化成几何问题来求解. 例 1：求下列函数在给定区间上的值域. （ 1），； （ 2），； （ 3），. 分析：分别画出三个函数的图象，看在给定区间内图象上点的纵坐标的范围. （1）（2）（ 3） 根据上面的简图，观察得出： （ 1）函数的值域为； 用心 爱心 专心- 11 - （ 2）函数的值域为； （ 3）函数的值域为.

12、例 2：求下列函数的最值. （ 1）求函数的最大最小值； （ 2）求函数的最大最小值； （ 3）求函数的最大最小值； （ 4）求函数的最小值； （ 5）求函数的最小值 . 略解： （1） 利用图象变换的知识作出函数的图象（如右图） ， 观察在区间上函数值的取值情况， 得函数的最大值为4，最小值为1. （ 2）设，因为，所以， 于是， 原函数最大最小值问题转化为求函数的最大最小值问题. 用例 1 作图观察的方法，可得最大值为，最小值为. （ 3）解可得，即函数的定义域为. 用心 爱心 专心- 12 - 设，则， 由，可得 ， 由，可得. 所以，函数的最大值为，最小值为. （ 4）解可得，即函数的

13、定义域为. 设，则， 由，可得， 由，可得. 所以，函数的最小值为. （ 5）因为，所以，当且仅当，即时等号成 立. 所以，函数的最小值为. 用心 爱心 专心- 13 - （备用试题）例3：求函数的最大、最小值. 分析：设，则， . 因为， 所以，只需分析的符号 . 观察上式可知， 只有当时，才能保证当在区间内任意取 值时；同时，只有当时，才能保证当在区间内任意 取值时. 所以，函数在区间上是减函数，在区间上是增函数 . 所以，函数的最小值为. 又，所以函数的最大值为. 综上，函数的最大、最小值分别为. 另外，本题更适合用导数研究函数的单调性，进而求函数的最大、最小值. 用心 爱心 专心- 1

14、4 - 由已知，解得或， 注意到定义域为，可得 的单调递增区间为，单调递减区间为. 之后 的解法同上 . 请认真体会在知识要点中提到的求值域的方法在例1 例 2 例 3 中的具体应用 . 最简单也重要的是会利用基本函数的图象观察得到函数在特定区间的函数的值域，如例 1； 利用图象变换得到图象进而观察得到函数在特定区间的函数的值域，如例2（1）； “换元法”求值域无非是通过换元，将复合函数的值域问题变成两个基本初等函数的值 域问题，如例2（2）、（ 3）、（ 4）； 例 3 通过讨论函数的单调性，进而求函数的最大最小值，这是解决函数最值问题的实质 性方法 . 前面用到的其他方法无非是我们知道函数

15、的图象，可以观察函数的单调性，不需要自 己讨论而已 . 例 2 （5）利用均值定理求函数的最值，可以解决一些解析式为特殊形式的函数最值问题. 如（其中同号）；常数，求的最值；常数，求的 最值，等等 . 用均值定理求最值要注意条件：“正”“定”“等”. 如利用求最小值应 满足：；或为定值；可以成立 . 三个条件缺一不可. 例 4：下列函数中值域为的是（） （A）（ B ） 用心 爱心 专心- 15 - （C）（ D） 解：根据幂函数的图象，的值域为； 根据均值定理，的值域为； 的值域为； 因为，所以值域为. 选 D. 例 5：函数在上的最大值与最小值之差为，则的值为 . 解：当时，函数在上是增函

16、数，依题意，所以. 当时，函数在上是减函数，依题意，所以. 综上，的值为或. 例 6：已知（其中），且在区间上恒成立，求 实数的取值范围 . 解：因为在上恒成立 . 所以在上恒成立 , 用心 爱心 专心- 16 - 因为，所以在上恒成立 . 所以（注：因为应小于在上的最小值） 即, 结合, 得. 所以的取值范围是. 例 7：定义：如果对于函数定义域内的任意, 都有（为常数），那 么称为的下界，下界中的最大值叫做的下确界 . 现给出下列函数： ； 其中有下确界的函数是_. 略解：因为函数的值域为，即，所以下界的集合为 ， 所以中的最大值为，有下确界 . 因为函数的值域为， 不存在， 使得对于函数定义域内的任意, 都有，所以这个函数没有下确界. 因为函数的值域