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1、页1第 安徽六校教育研究会 2019届高三第二次联考 数学试题（理） 命题：安徽师范大学附属中学 考试时间： 120 分钟；试卷分值： 150 分。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1设全集UR，集合3Ax x，6Bx x，
2、则集合 UA BIC( ) A36xx B36xx C 36xx D36xx 2某工厂生产的A，B，C三种不同型号的产品数量之比为235，为研究这三种产品的质量，现用 分层抽样的方法从该工厂生产的A，B，C 三种产品中抽出样本容量为n 的样本，若样本中A 型产 品有 10 件，则 n的值为 ( ) A15 B25 C50 D60 3若复数 z 满足 zi1i，则 z的共轭复数是 ( ) A1i B1i C1i D1i 4若 5 sin() 45 ，那么cos() 4 的值为 () A 2 5 5 B 2 5 5 C 5 5 D 5 5 5设 0.2 1 4 1 3 1 2 ,log 6 5 a
3、bc 则() AabcBcbaC cabDbac 6一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为r 的圆，若该几何体的体积为 9 8 ，则它的表 面积是 () A 9 2 B9 C 45 4 D 54 4 7 若 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 输 入 123 1,2,3,2xxxx，则输出的数等于（） A 1 3 页2第 B 2 3 C1 D2 8 已 知 抛 物 线 2 2(0)ypx p上 一 点(5, ) t到 焦 点 的 距 离 为6，PQ、分 别 为 抛 物 线 与 圆 22 (6)1xy上的动点，则PQ的最小值为（） A211 B 5 2 5 C2 5 D2 5
4、1 9已知函数 2 ( )32sincos2 3 cos(0)f xxxx在区间,2内没有极值点，则的取 值范围为（） A 511 , 12 24 B 1 0, 2 C 5511 0, 2412 24 U D 511 1 0, 1224 2 U 10某地举办科技博览会，有3个场馆，现将24个志愿者名额分配给这3个场馆，要求每个场馆至少 有一个名额且各场馆名额互不相同的分配方法共有（）种 A222 B253 C276 D284 11 定 义 在R上 的 奇 函 数( )f x， 当0 x时 ， 1 2 13 ,1, ( ) log (1),0,1 xx f x xx 则 关 于x的 函 数 (
5、)( )(01)F xf xaa的所有零点之和为（） A12 a B0 C22 a D 1 1 2 a 12设ABC的内角,A B C所对边的长分别为, ,a b c，则下列命题正确的是（） （1）若 222 abc，则 2 C；（2） 若 2 abc，则 3 C； （3）若 333 abc，则 2 C；（4） 若2()abab c，则 2 C； （5）若 22222 2abca b，则 3 C. A （1） （2） （3） B （1） （2） （5） C （1） （3） （4） D （1） （3） （5） 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。 13已知向量a(2，m)，b
6、(1，2)，若 ab，则 b 在向量cab上的投影为 _ 14若实数 x，y 满足约束条件 410 1 4 xy y xy 则 zln yln x 的最小值是 _ 15已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 FF、，直线MN过 2 F，且与双曲线右 页3第 支交于MN、两点，若 112 coscosF MNF F M， 1 1 1 2 F M F N ，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分 别为和 . 16三棱锥PABC中，底面ABC满足BABC， 2 ABC，点P在底面ABC的射影为AC的 中点，且该三棱锥的体积为 19 6 ，当其外接球的表面积最小时，P
7、到底面ABC的距离为 . 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21 题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60 分。 17 (本小题满分12 分) 已知 n a是各项均为正数的等比数列，且 1232+=32aaaa, ， 等差数列 n b 的前n项和为 n S，且 34516bS, . （）求数列 n a、 n b的通项公式； （）如图，在平面直角坐标系中，有点 11(,0)P a 、 22(,0)P a (,0) nnP a 、 11(,0)nnPa , 111(,)Q a b 、 222(,)
8、Qa b(,)nnnQa b，若记1nnnP Q P的面积为n c, 求数列 n c的前n项和nT. 18. （本小题满分 12 分）如图所示，直三棱柱 ABC-AB C 的侧棱长为 4，AB BC，且 ABBC4，点 D，E 分别是棱 AB，BC 上的动点，且ADBE. （）求证：无论D 在何处，总有B CC D； （）当三棱锥B-DBE 的体积取最大值时，求二面角D-BE-A的余 弦值 19. （本小题满分12 分）为调查人们在购物时的支付习惯，某超市对随机抽取的600 名顾客的支付方 式进行了统计，数据如下表所示： 支付方式微信支付宝购物卡现金 人数200 150 150 100 现有甲
9、、乙、丙三人将进入该超市购物，各人支付方式相互独立， 假设以频率近似代替概率. （）求三人中使用微信支付的人数多于现金支付人数的概率； （）记X 为三人中使用支付宝支付的人数，求X 的分布列及数 学期望 . 20 ( 本小题满分 12 分) 已知椭圆C: 22 22 1(0) xy ab ab 的左、 右焦点分别为 12 ,FF， 离心率为 2 2 ， 页4第 直线l：2yx与椭圆交于,MN，四边形 12 MF NF的面积为 4 2 3 . （）求C的方程； （）作与l平行的直线与椭圆交于,A B两点，且线段AB的中点为P， 若 12,PF PF 的斜率分别为 12 ,k k， 求 12 kk
10、的取值范围 . 21( 本小题满分 12 分) 已知函数 2 ( )(1) x f xxex， 2 ( )210() x g xaeaxaaR. （）求曲线( )yf x在1,(1)f处的切线方程； （）当0 x时，( )( )f xg x恒成立，求实数a的取值范围 . （二）选考题： 共 10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做， 则按所做的第一题计分。 22 选修 44：坐标系与参数方程 （本小题满分10 分） 已知曲线C 的参数方程为 32cos 12sin x y （为参数），以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为 极轴建立极坐标系. （）求曲线C的极坐标方程； （）
11、若直线l的极坐标方程为 1 sin2cos，求曲线 C上的点到直线l的最大距离 . 23 选修 45：不等式选讲 （本小题满分10 分） 已知函数( )2f xxmxn，,0,m n. （）若( )1f x恒成立，求2mn的最小值； （）若2,3mn，求不等式( )5f x的解集 . 页5第 安徽六校教育研究会2019届高三第二次联考 数学试题答案（理） 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分 题 号 1234567891 0 1 1 1 2 答案ACBDBCBDCAAD 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分 13. 10 2 14. ln3 15. 2 ,
12、 33 16. 3 19 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 17. 解： (1)设数列公比为,由已知, 由题意得： 得，又，解得，则 3 分 设数列的公差为，由题意得： 解得，则 6分 (2)由(1)有=， 故 8 分 + 1 2 1-2得- = 故 12 分 18.根据题意，以B 为原点，以BC，BA， BB所在直线分别为x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，如图 所示， 页6第 则 B(0，0，0)，A(0， 4，0)，A(0，4，4)，C(4，0，0)，
13、C(4 ，0，4)，B(0，0， 4) (1)证明：设D(0，a， 0)，则 E(4a，0， 0)， 得BC (4，0， 4)，(4，a， 4)， 故BC 0，有 BC ，即总有B CC D. 4 分 (2) 当且仅当a2 时，取等号，此时D (0，2， 0)， E(2，0，0) 6分 则,设面 DBE 的法向量为, 由可取 同理可得面A B E 的一个法向量 10 分 由 易得二面角D-B E-A 的余弦值为。 12 分 19.解： (1)由表格得顾客使用微信、支付宝、购物卡和现金支付的概率分别为，设 Y 为三人中 使用微信支付的人数，Z 为使用现金支付的人数，事件A 为“三人中使用微信支付
14、的人数多于现金支付人 数” ， 则 P(A)=P(Y=3)+P(Y=2)+P(Y=1且 Z=0) = = 6 分 (2)由题意可知,故所求分布列为 X 0 1 2 3 P 10 分 E(X)= 12 分 页7第 20.解：由（ 1） 22 22 2 1 yx xy ab 可得 22 2 22 4 4 a b y ab 2 2 c e a ， 22 2 2 1 2 ab e a 2 ,ab cb 2分 22 24 2 2 3 4 ab c ab ，带入得 3 22 22 3 8 b bb 1 2 b a ，椭圆方程为 2 2 1 2 x y 5 分 （2）设直线AB的方程为2(0)yxm m 由
15、 2 2 2 1 2 yxm x y ，得 22 98220 xmxm 22 6436(22)0mm，得 2 9m，3,00,3mU 7 分 设 112200 (,),(,),(,)A xyB xyP xy,则 2 1212 822 , 99 m xxm x x 000 4 ,2 99 m xm yxm 2 0000 12 22 000 28 11181 16 yyx ym kk xxxm 2 8 81 16 m （0m） 10 分 12 8 ,0, 7 kk U 12 分 21.解： (1) ( )12 xx fxexex, (1)2fe (1)1f, 所求切线方程为21yexe 4 分 (
16、2) 令 22 ( )( )( )(1)210(0) x h xf xg xxaexaxax ( )(1)22()(2) xxx h xexaexaxa e 当0a时，0 xa，0ln 2x时，( )0h x；ln2x时，( )0h x ( )h x在0,ln 2上是减函数，在ln2,上是增函数， 22 ( )(ln 2)(2ln 22)ln 22ln 280h xhaa 页8第 (ln 22)(ln 24)0aa，即ln 240a 7 分 当0ln 2a时，( )h x在0,a上是增函数，在,ln 2a上是减函数，在ln2,上是增函数，要 使( )0h x， 则 (ln 2)0 (0)0 h h ，解得 0ln 2a 9 分 当ln 2a时，( )0h x，( )h x在0
