《高中数学2.2《线性变换的基本性质》教案湘教版选修4-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学2.2《线性变换的基本性质》教案湘教版选修4-2（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高中数学2.2线性变换的基本性质教案湘教版选修4-2 - 1 - / 6 2.2 线性变换的基本性质 教学目标 : 一、知识与技能： 会证明定理1 和定理2；理解矩阵变换把平面上的直线变成直线，即)( 21 A AA 21 二、方法与过程 分析可逆的线性变换将直线变成直线，平行四边形变成平行四边形这一结论，得到定理1 和定理2 的证明，寻求线性变换在向量上的作用等式。 三、情感、态度与价值观 感受数学活动充满探索性和创造性，激发学生乐于探究的热情。增强学生的符号意识， 培养学生的逻辑推理能力。 教学重点 : 定理的探究及证明 教学难点： 定理的探究 教学过程 一、复习引入： 1 、基本概念 （
2、1）二阶矩阵：由四个数a，b，c，d排成的正方形数表 dc ba 称为二阶矩阵。 特别地， 称二阶矩阵 00 00 为零矩阵， 简记为 0。称二阶矩阵 10 01 为二阶单位矩阵，记为 2 E。 （ 2）向量：向量（yx ,）是一对有序数对，yx ,叫做它的两个分量，且称 y x 为列向量， （yx ,）为行向量。同时，向量、点以及有序实数对三者不加区别。 2、败类特殊线性变换及其二阶矩阵 （ 1）线性变换 在平面直角坐标系中，把形如 dycxy byaxx （其中a，b，c，d为常数）的几何变换叫 高中数学2.2线性变换的基本性质教案湘教版选修4-2 - 2 - / 6 做线性变换。 （ 2
3、）旋转变换 坐标公式为 cossin sincos yxy yxx ，变换对应的矩阵为 cossin sincos （ 3）反射变换 关于x的反射变换坐标公式为 yy xx 对应的二阶矩阵为 10 01 ； 关于 y的反射变换坐标公式为 yy xx 对应的二阶矩阵为 10 01 ； 关于xy的反射变换坐标公式为 xy yx 对应的二阶矩阵为 01 10 ； （ 4）伸缩变换 坐标公式为 yky xkx 2 1 对应的二阶矩阵为 2 1 0 0 k k ； （ 5）投影变换 投影在x上的变换坐标公式为 0 y xx 对应的二阶矩阵为 00 01 ； 投影在y上的变换坐标公式为 yy x 0 对应
4、的二阶矩阵为 10 00 （ 6）切变变换 平行于x轴的切变变换坐标公式为 yy syxx 对应的二阶矩阵为 10 1s 1 01 s 平行于y轴的切变变换坐标公式为 ysxy xx 对应的二阶矩阵为 1 01 s 二、新课讲解 定理 1设 A dc ba ， 1 1 1 y x X， 2 2 2 y x X，t，k是实数。则以下公式成立： （ 1）A（t 1 X）t（A 1 X） （ 2）A 1 XA 2 X A（ 1 X 2 X） 高中数学2.2线性变换的基本性质教案湘教版选修4-2 - 3 - / 6 （ 3）A（t 1 Xk 2 X）tA 1 XkA 2 X 证明：（1）A（t 1X
5、） dc ba 1 1 ty tx 11 11 dtyctx btyatx 11 11 dycx byax tt（A 1X ） （ 2）A 1 XA 2 X dc ba 1 1 y x dc ba 2 2 y x 11 11 dycx byax 22 22 dycx byax 2211 2211 dycxdycx byaxbyax )()( )()( 2121 2121 yydxxc yybxxa dc ba 21 21 yy xx A（ 1 X 2 X） （3） A （t 1 Xk 2 X） A（t 1 X） A（k 2 X）tA 1 XkA 2 X 由定理 1 还得出： A（ 2 X 1
6、X） A 2 XA（ 1 X） A 2 X- A 1 X 由定理 1 还可翻译为线性变换在向量上作用的等式 AAA)(；tAtA)(；)( 21 AAA 21 定理 2可逆的线性变换具有如下性质： （1）直线仍变成直线； （2）将线段仍变成线段 （3）将平行四边形变成平行四边形 证明：设可逆线性变换A 的矩阵为A。 设 0 P， 1 P， 2 P为平面三个不同的点，P为平面上任意一点， 点 0 P， 1 P， 2 P，P，分别初恋换A 变到点 0 P， 1 P， 2 P， P如图所示。 设 0 OP， 1 OP， 2 OP， OP， 0 OP， 1 OP， 2 OP， OP的坐标分别是 0 X
7、， 1 X， 2 X，X， 0 X， 1 X， 2 X， X 则 0 X A 0 X， 1 XA 1 X， 2 XA 2 X， X AX 设 0 P， 1 P不重合，决定一条直线 0 P 1 P和一条线段 0 P 1 P 由于 A 是可逆变换， 0 P， 1 P也不重合，也决定一条直线 0 P 1 P和一条线段 0 P 1 P （ 1）点P在直线 0 P 1 P上存在实数t使PP0 t 10P P 高中数学2.2线性变换的基本性质教案湘教版选修4-2 - 4 - / 6 X- 0 X=t( 1 X- 0 X)A(X- 0 X)=At( 1 X- 0 X) AX- A 0X =t(A 1X -A
8、 0X ) X- 0X =t( 1X - 0X ) 0P P=t 1 0P P P在直线 0 P 1 P上 因此， A 将直线 0 P 1 P变成直线 0 P 1 P （ 2）点点 P在线段 0 P 1 P上存在实数t使10t且PP 0 t 10P P 重复（ 1）的计算，知道PP 0 t 10P P 0P P=t 1 0P P P在线段 0 P 1 P上 这说明 A 将线段 0P1P变成线段 0 P 1P （ 3）设四边形 0 P 1 P 2 PP是平行四边形，则 10P PPP2 ，并且直线 0 P 1 P与直线 2 PP不 重合。 由于 A 是可逆变换，直线 0 P 1 P与直线 2 P
9、 P不重合。 并且，由 （2） 的结论，四边形 0 P 1 P 2 PP的四条边 0 P 1 P， 1 P 2 P， 2 PP，P 0 P分别变成 4 条线段 0 P 1 P， 1 P 2 P， 2 P P， P 0 P， 这 4 条线段围成一个四边形 0 P 1 P 2 P P 且由 10P PPP 21 X- 0 XX- 2 X A（ 1 X- 0 X） A（X- 2 X） A 1 X-A 0 XAX-A 2 X 1 X- 0 X X- 2 X 1 0P P 2P P 知道 0 P 1 P 2 P P是平行四边形。 三、例题解析 例 1、对矩阵 A 01 10 ，向量 3 2 ， 2 1
10、，验证以下等式成立 （ 1）AAA)(；（2）A（ 2 1 ） 2 1 A 解： （1）)(A 01 10 （ 3 2 2 1 ） 01 10 5 1 1 5 高中数学2.2线性变换的基本性质教案湘教版选修4-2 - 5 - / 6 AA 01 10 3 2 + 01 10 2 1 2 3 + 1 2 1 5 AAA)( （ 2）A（ 2 1 ） 01 10 2 3 1 1 2 3 2 1 A 2 1 01 10 3 2 2 1 2 3 1 2 3 A（ 2 1 ） 2 1 A 例 2、直线l经过点 A（1,0 ）和 B（1,1 ） ，考查矩阵M 10 11 把直线l变成什么图形？ 思路点拔：
11、考虑在矩阵M 10 11 对应变换下点A，B所得的点 A 1. 和 B 1，确定图形形状 解： 10 11 0 1 0 1 10 11 1 1 1 2 即在矩阵M的作用下点A变成点 A，点 B（1,1 ）变成点B 1（ 2,1 ） MABMOB MOA 1 OBOA 1 AB 即AB变成 1 AB，由于 A 和 B 1 不重合，0 1 AB，所以，矩阵M把直线l变成了经过点A 和 B 1 的直线 例 3、梯形 OABC 的顶点为A（2，0）B（2，3） ，C（0,2 ） ，且 AB OC ，求证：梯形OABC在 M 12 21 矩阵对应的变换作用下得到的图形仍是梯形。 证明：由 12 21 0
12、 0 0 0 ； 12 21 0 2 4 2 ； 12 21 3 2 7 8 ； 12 21 2 0 2 4 所以在矩阵M的作用下点O,A,B,C 分别变成点O，A 1（2， 4） ，B 1（8, 7） ，C 1（4， 2） 11B A（ 6，3） ， 1 OC（ 4，2） 高中数学2.2线性变换的基本性质教案湘教版选修4-2 - 6 - / 6 11B A 1 2 3 OC，即 A 1B1OC1 平行且不相等 所以梯形OABC 在 M 12 21 矩阵对应的变换作用下得到的图形仍是梯形。 四、课堂练习 1、给定矩阵M 00 01 ，考查该矩阵抒经过点A（2，1）垂直于x轴的直线l变成什么？ 2、已知 ABC的顶点坐标分别是A （0,0 ） ，B （1，3） ，C （0,2 ） ，求证：在矩阵 2 1 2 3 2 3 2 1 变换下 ABC仍是三角形。 五、小结 1、矩阵既可以对点进行线性变换，也可以对向量进行线性变换，共线向量在矩阵对 应的线性变换作用下所得到向量仍共线，且所成比例不变 2、可逆变换保持图形性状不变，直线变成直线，平行直线变成平行直线，相交直线变成 相交直线等；而不可逆变换则有可能改变图形形状，直线变成点，矩形变成线段。 六、课后作业： 课本 35 页习题 2 教学反思：
