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1、广东省珠海市2012 届高三数学第二次调研考试理 （2012 珠海二模） 1 / 17 珠海市 2011-2012 学年度第二学期高三质量监测 理科数学 一、选择题： （本大题共8 小题，每小题5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的, 请在答题卡相应位置填涂答案） 已知全集UR，集合|1|1Axx，则ACU等于（ C ） A. ( ， 0 B. 2 ， ) C. ( ， 02 ， ) D. 0 ， 2 等比数列 n a中， 1 1 2 a，又 1423 4a aa a，则公比q A 2B 2 3 C2D 3 在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分
2、别为A,B. 若 C为线段 AB的中点，则点C 对应的复 数是（） A.4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i 已知 a、b 是实数，则“ a1，b2”是“ a+b3 且 ab2”的 A充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分且必要条件D既不充分也不必要条 5ABC中，角ABC、所对的边abc、，若3a， 3 A， 5 cos 5 B，则b A 8 5 5 B 2 5 5 C 4 5 5 D 12 5 5 6已知函数( )f x满足：当x1 时，( )f x=)1(xf；当 x1 时，( )f x= x 2，则)7(log 2 f= A 16 7 B 8 7 C 4 7 D 2 7
3、 7某班主任对全班50 名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表： 认为作业多认为作业不多总数 喜欢玩电脑游戏18 9 27 广东省珠海市2012 届高三数学第二次调研考试理 （2012 珠海二模） 2 / 17 不喜欢玩电脑游戏8 15 23 总数26 24 50 根据表中数据得到 2 5018 1589 5 059 27232426 k () . ，参考下表： P(K 2k) 0.050 0.0250.0100.001 k 3.841 5.0246.63510.828 则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为（） A 97.5% B95% C90% D99.9% 8 起点到
4、终点的最短距离为（） A16B 17 C 18 D19 二、填空题：本大题共7 小题，每小题5 分，满分30 分其中1415 题是选做题，考生只能 选做一题，两题全答的，只计算前一题得分答案请填在答题卡上. 9.（理科） 某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法抽取一个容量 为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有学生_人. 10 （理科） 已知单位向量a，b，其夹角为 3 ，则ba=_ 11 （理科） 已知随机变量 2 (2,)N， 3 (1) 4 P，(5)P . 12下图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该 几何体的表面积
5、是_； 13甲乙两艘船都要在某个泊位停靠，若分别停靠4 小 时、 8 小时，假定它们在一昼夜的时间段内任意时刻到 0 v 1 v 2 v 5 v 6 v 3 v 4 v 起点 8 终点4 2 2 4 6 5 7 6 3 4 广东省珠海市2012 届高三数学第二次调研考试理 （2012 珠海二模） 3 / 17 达，则这两艘船中有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为 14 （坐标系与参数方程选做题） 如图， PA 是圆的切线，A 为切点， PBC 是圆的割线，且 BC PB1 2 ，则 PA BC 15（坐标系与参数方程选做题）曲线4cos 4 关于直线对称的曲线的极坐标方程 为。 三、解答题：本大
6、题共6 小题，满分80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16 （本小题满分12 分） 在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角,，它们的 终边都在第一象限内，并且分别与单位圆相交于A，B 两点，已知A 点的纵坐标为 10 10 ，B 点 的纵坐标为 10 2 （1）求tantan和的值；（2） 求2的值 P B A C 广东省珠海市2012 届高三数学第二次调研考试理 （2012 珠海二模） 4 / 17 O 19题 图 181716 15 1413秒 频 率 组 距 0.06 0.08 0.16 0.32 0.38 17 （本小题满分12 分）某学校 900 名学生在一次
7、百米测试中，成绩全部介于 13秒与18秒之间， 抽取其中50 个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组13,14)，第二组14,15)， 第五组17,18，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图 （1）若成绩小于14 秒认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数； （2）请估计本年级900 名学生中，成绩属于第三组的人数； （3）若样本第一组中只有一个女生，其他都是男生，第五组则只有一个男生，其他都是女生， 现从第一、五组中各抽2 个同学组成一个实验组，设其中男同学的数量为，求的分布列和 期望 广东省珠海市2012 届高三数学第二次调研考试理 （2012 珠海二模） 5 / 17
8、18.（本小题满分14 分） 如图，长方体 1111 ABCDA B C D中， 1 4CC，3ABBC （1）若EF、分别是 1 BC、 11 AC中点，求证EF/平面 1 DCC； （2）求二面角 11 ABCD的正弦值 广东省珠海市2012 届高三数学第二次调研考试理 （2012 珠海二模） 6 / 17 19.（本小题满分14 分） 已知圆 C 方程：（x1） 2 + y 2=9，垂直于 x 轴的直线L 与圆 C 相切于 N 点（ N 在圆心 C 的右侧），平面上有一动点P，若 PQL，垂足为Q，且 2 1 | | PQ PC ； （1）求点 P 的轨迹方程； （2）已知 D 为点 P
9、 的轨迹曲线上第一象限弧上一点，O 为原点， A、B 分别为点P 的轨迹曲线 与, x y轴的正半轴的交点，求四边形OADB 的最大面积及D 点坐标 . 广东省珠海市2012 届高三数学第二次调研考试理 （2012 珠海二模） 7 / 17 20.（本小题满分14 分） 已知函数 321 3 fxxaxbxRa,b. （）若曲线C : yfx经过点1 2P,，曲线C在点P处的切线与直线230 xy平 行，求a,b的值； （）在（）的条件下，试求函数 27 1 3 g xmfxx（m为实常数， 1m ） 的极大值与极小值之差； （）若fx在区间1 2,内存在两个不同的极值点，求证：02ab. 广
10、东省珠海市2012 届高三数学第二次调研考试理 （2012 珠海二模） 8 / 17 21.已知函数( )cosf xx，( )2g xx，数列 n x满足： 1 5 (,) 66 x ， * 1 2 ()() () nn g xf xnN n ， (1) 当 2 时，求 23 ,xx的值并写出数列 n x的通项公式（不要求证明）； (2) 求证：当0 x时，( )xfxx； (3) 求证： * 1231 () 2222 n xxxxnN。 广东省珠海市2012 届高三数学第二次调研考试理 （2012 珠海二模） 9 / 17 数学理参考答案 一、选择题： （本大题共8 小题，每小题5 分，满
11、分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的, 请在答题卡相应位置填涂答案） C A C A 5 C 6C 7A 8B 二、填空题：本大题共7 小题，每小题5 分，满分30 分其中1415 题是选做题，考生只能 选做一题，两题全答的，只计算前一题得分答案请填在答题卡上. 9. 3700 10 3 11 1 4 12 51 2 13 72 31 14 3 2 15 4sin 三、解答题：本大题共6 小题，满分80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 广东省珠海市2012 届高三数学第二次调研考试理 （2012 珠海二模） 10 / 17 频 率 组 距 0.06 0.0
12、8 0.16 0.32 0.38 16. 解: 本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式。 （1）由条件得 1 sin 10 ， 1 sin 5 2 2 分 为锐角，故 cos0且 3 cos 10 ，同理可得 7 cos 5 2 4 分 因此 1 tan 3 ， 1 tan 7 。6 分 （2） 1 tan 3 ， 1 tan 7 11 tantan1 37 tan 1 1 1tantan2 1 3 7 7 分 11 tantan() 32 tan 2tan()1 1 1 1tantan() 1 3 2 8 分 0 2 ，xytan在) 2 , 0( 上单调递增， 且 4 t
13、an1tan， 4 0， 10 分 同理 4 0， 4 3 20 11 分 从而2 4 12 分 17. 广东省珠海市2012 届高三数学第二次调研考试理 （2012 珠海二模） 11 / 17 解： （1）由频率分布直方图知，成绩在第一组的为优秀，频率为0.06， 人数为： 500.06=3 所以该样本中成绩优秀的人数为3。 3 分 （2）由频率分布直方图知，成绩在第三组的频率0.38，以此估计本年级900 名学生成绩属 于第三组的概率为0.38， 人数为： 9000.38=342 所以估计本年级900 名学生中，成绩属于第三组的人数为342。7 分 （3）的可能取值为1，2，3； 3 1
14、) 1( 2 4 0 1 2 3 2 3 1 2 1 1 C CC C CC p 8 分 2 1 )2( 2 4 1 3 1 1 2 3 1 1 1 2 2 4 2 3 0 1 2 3 0 1 2 2 C CC C CC C CC C CC p9 分 6 1 )3( 2 4 1 3 1 1 2 3 0 1 2 2 C CC C CC p10 分 的分布列为 P 1 2 3 1/31/21/6 11 分 6 5 1 6 11 )3(3)2(2) 1(1pppE 12 分 18. 广东省珠海市2012 届高三数学第二次调研考试理 （2012 珠海二模） 12 / 17 ()证明：连接 111 D
15、BB C、，则长方体 1111 ABCDA B C D中， 11 BCB CE， 1111 D BACF， E、F分别是 11 B D和 1 B C的中点 1 EFD C分 1 EFDCC平面4 分 ()解： (理)连接AC设交BD于O，连接 11 AOC O、 正方形 ABCD中ACBD，又 1 AA平面ABCD 1 AABD BD平面 11 AAC C5 分 过 1 A作 11 A HC O于H，作 11 A GC B于G，连接GH、BF 1 A HBD 1 A H平面 1 BDC6 分 11 BCA H 1 BC平面 1 A HG 1 BCHG8 分 广东省珠海市2012 届高三数学第二
16、次调研考试理 （2012 珠海二模） 13 / 17 1 AGH就是二面角 11 ABCD10 分 3ABBC， 1 4CC 11 5A BBC， 11 3 2ACBD 111 1 1 24 41 AAAC A H OC ， 11 1 1 3 41 5 BF AC AG BC 1分 1 1 1 40 sin 41 A H AGH AG 二面角 11 ABCD的正弦值是 40 41 14 分 19. 解：（1）设P点坐标为 ( , )x y， 1 分 则4PQx，2 分 22 (1)PCxy3 分 因为 2 1 | | PQ PC ，所以 22 (1)1 42 xy x ， 4 分 广东省珠海市2012 届高三数学第二次调研考试理 （2012 珠海二模） 14 / 17 化简得 22 1 43 xy 5 分 所以
