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1、34 标量磁位,在静电场中，引入了电位（,引入使电场的分析计算简化，恒定磁场中能不能引入标量磁位呢？一般情况下,或,所以磁场是非保守的，不能引入标量磁位。但是在没有电流分布的区域内,即在没有自由电流分布的区域内，H是无旋的，所以可以引入标量磁位。,），是标量，,1 标量磁位的引入 由（3.86）式和矢量恒等式,，H可以写为,m称为标量磁位，负号表示H的方向，m的单位是安培。空间m相等的各点构成曲面称为等磁位面，方程为m（x，y，z）C，等磁位面与H线处处正交。,2 标量磁位的微分方程 由,和,，所以,可以得到,所以标量磁位满足拉普拉斯方程。,负号是为了与静电位对应而人为加入的。,3标量磁位m的
2、边界条件 用与讨论电位边界条件的方法类似，标量磁位的边界条件,4标量磁位m的计算 计算标量磁位，一般是在给定的边界条件下求解 ，在第四章中将详细介绍。,等价于,等价于,35 电感,351 自感系数和互感系数,电感是一种储存磁场能量的元件，通常由N匝导线绕制而成。当线圈通电时，将在空间中激励磁场，穿过一匝线圈的磁通为，穿过线圈的总磁通称为磁链，用表示。,假定N匝导线紧密绕制，可以近似认为处于同一位置，则：,故：,L称为自感系数，简称自感或电感，单位为H（亨利）。自感取决于线圈的大小、形状、匝数和填充的媒质。,在线性磁介质中，任一回路在空间产生的磁场与回路电流成正比，因而穿过任意的固定回路的磁通量
3、也是与电流成正比。,应注意，磁链与磁通不同，磁链是指与某电流交链的磁通。,L称为自感系数，单位是亨（H）。对于单匝线圈，穿过线圈的磁链与磁通相等，对于密绕的多匝线圈，如果无漏磁，则,一个线圈中通入电流I，它所产生的穿过线圈本身的磁链与线圈中的电流成正比，比例系数称为自感系数，可以表示为,4.6.2互感 图中有两个彼此靠近的导线回路。如果第一个回路中有电流I1通过，则这一电流所产生的磁力线，除了要穿过本回路外，还将有一部分与第二个回路相交链。由回路电流I1所产生而和回路2相交链的磁链，称为互感磁链，以12表示。显然12与I1成正比，即,其中,（4-90）,线圈间的互感取决于回路的形状、大小、匝数
4、、两线圈的相对位置和磁介质的磁导率。,同样，第2回路电流I2 产生的磁场与第一回路交链的磁链为21 ，其比值同样称为互感系数,后面将会证明 。,M12为互感系数，单位也是亨（H）。也可以用线圈2中通入电流I2所产生的穿过线圈1的磁链定义互感系数,自感系数L只与线圈的大小、形状、匝数及周围的介质等因素有关，互感系数M只与两线圈的大小、形状、匝数、周围的介质及相对位置有关。,线圈1中通入电流I1，它所产生的穿过线圈2的磁链与线圈1中的电流成正比，比例系数称为互感系数，可以表示为,352 M和L的计算,1 利用定义式计算 利用定义式计算自感系数的思路为,即由线圈中通入的电流I，求出所产生的穿过线圈本
5、身的磁链,，进而求出自感系数。,或,即由线圈1（或线圈2）中通入的电流I1（或I2），计算所产生的穿过线圈2（或线圈1）的磁链12（ 21 ），进而求出互感系数，可以根据问题中的条件选择简便的方法。,利用定义式计算互感系数的思路为,2 利用矢量磁位A计算L和M 利用矢量磁位A计算磁通量 穿过曲面S的磁通量为,把,代入（3.95）式,其中L是曲面S的边界，（3.96）式提供了一种利用矢量磁位计算磁通量的方法。, 利用矢量磁位A计算互感系数M 如图3.21，l1、l2是两个载有电流的回路，首先计算l1中的电流I1产生的穿过回路l2的磁链。设I1dl1是回路l1中的任一电流元、dl2是回路l2上的任
6、一线元，回路l1中的电流I1在dl2处产生的矢量磁位为,电流I1产生的穿过回路l2的互感磁链为,图3.21 计算互感系数,两回路间的互感系数为,（3.97）式称为诺伊曼公式。当然也可以首先计算l2中的电流I2产生的穿过回路l1的磁链，进而计算两回路间的互感系数，结果为,比较（3.97）式和（3.98）式就可以证明,若回路l1、l2的匝数分别为N1、N2，很容易导出两回路间的互感系数为,由于实际导线的截面积不能忽略。因此，磁链将分为内外两部分。穿过导线内部的磁链称为内磁链i ，对应的自感称为内自感Li，导线外部的磁链称为外磁链o ,对应的自感称为外自感Lo 。, 利用矢量磁位A计算自感系数L,外
7、自感计算:,图3.22是一个单匝线圈，l1是线圈的中心线，l2是线圈的内侧边线，可认为电流沿中心线流动，l1上的电流在l2上某一点产生矢量磁位为,图3.22 计算自感系数,线圈中电流产生的穿过线圈本身的磁链（即l1上的电流产生的穿过l2的磁链）为,单匝线圈的自感系数为,对于N匝密绕线圈，自感系数为,图3.22 计算自感系数,例题3.11 设双线传输线间的距离为D，导线的半径为a（Da），如图3.23所示，求单位长度的自感。,解：设导线中的电流为I，在两导线构成的平面上x处，两导线产生的磁感应强度方向相同，总的磁感应强度为,两导线间单位长度的磁链为,双线传输线单位长度的自感为,图3.23 求双线
8、传输线间的自感,无限长直线电流产生的磁感应强度为,穿过曲面S的磁通量为,例题3.12 一个单匝线圈的圆形横截面的半径为a，线圈的平均半径为R，求单匝线圈的自感。 解： 在线圈的中心轴线上取一个线元dl1=Rd ，在线圈的内侧边线上取一个线元dl2=(Ra)d ，两线元之间的距离,代入（3.100）式可得,图3.24 例题3.12,给定导线的半径为a和线圈的平均半径为R，由（3.103）式利用近似计算或数值方法可以计算一个单匝圆线圈的自感系数。,例题3.13 两个平行且共轴的单匝圆线圈，一个半径为a，另一个半径为b，求两个线圈间的互感。,图3.5.5 计算两个平行且共轴的圆线圈间的互感,解：由（
9、3.97）式，两线圈间的互感为,在两线圈上分别取线元dl1、dl2，相距r，从dl2向大线圈平面作垂线d，r在大环平面上的投影为r1，如图3.25所示，可以算出,代入（3.104）式可得,与例题3.9中的方法类似，（3.105）式中的积分可以用以下几种方法求解： 变换成椭圆积分， 利用计算机作数值计算， 利用近似计算。,下面利用近似计算求解ad 的情况，（ 3.105 ）式中的被积函数为,上式中利用了泰勒级数展开，代入（3.105）式可得,即,3 内自感,在（3.91）式中由L=LI 定义了自感系数，由导线外部的磁链定义的自感称为外自感，由导线内部的磁链定义的自感称为内自感。前面讨论的都是外自
10、感，下面通过一个例题介绍内自感。,例题3.14 半径为a，长度为l 的长直圆导线，求内自感。 解：设导线载有电流I，电流在横截面上均匀分布，电流I和磁感应强度B的方向如图3.26所示，利用安培环路定理可以计算导线内磁感应强度B的分布,图3.26 计算内自感,内磁链,下面求穿过这个窄条的磁链di ，从图3.26中可以看出， di只环绕一部分电流,在与B垂直的横截面上，穿过图3.26中一个窄条的磁通量为,若di 环绕全部电流I，则di=di ； 若di环绕部分电流I ，则,这段导线的内磁链为,内自感为,可以看出导线的内自感仅与导线的长度l 有关，与导线的半径a无关。,所以穿过这个窄条的磁链为,4
11、电感的串联和并联P6,图3.27 串联相加和串联相反,两个电感线圈可以串联或并联使用。如果两个串联线圈产生的磁通方向相同称为串联相加，如图3.27（a）所示；如果两个串联线圈产生的磁通方向相反称为串联相反，如图3.27（b）所示；如果两个线圈产生的磁通互相垂直，两个线圈之间的互感为零。同理可以定义两个并联电感线圈的并联相加和并联相反。, 电感的串联,设两个线圈的自感系数分别为L1、L2，内阻分别为R1、R2，互感系数为M，串联电路中的电流为i(t)时，每个线圈两端的电压取为,两个线圈串联相加时，以上两式中的互感电压降取正；两个线圈串联相反时，以上两式中的互感电压降取负。由基尔霍夫电压定律可得,图3.28 两个电感线圈串联,设L为两线圈串联的等效电感，R为两线圈串联的等效电阻，则,为了判别电路中的电感线圈产生的磁通方向是相加还是相反，一般是在线圈的某一端标一个点（）来识别，如图3.27中所示。若两个线圈的电流都是从有标示点的一端流出（或流入），则磁通相加，反之则磁通相反。, 电感的并联,两个电感线圈并联，如图3.29所示，利用与导出（3.107）式类似的方法可以得到两个电感线圈并联的等效电感为,图3.29 两个电感线圈并联,两个电感线圈并联相加时，上式分母中取负；两个电感线圈并联相反时，上式分母中取正。,
