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1、第二章,随机信号分析,内容结构,引言； 随机过程的一般描述； 平稳随机过程； 高斯过程（正态随机过程）； 窄带随机过程； 正弦波加窄带随机过程； 随机过程通过线性系统；,引言,随机信号： 某个或某几个参量不能被预知或不能完全被预知的信号。 随机噪声： 不能被预测的噪声。,随机过程的一般描述,随机过程的基本概念： 随时间变化的随机变量的全体；兼有时间函数与随机变量的特点。 随机过程的统计特性： 分布函数与概率密度函数； 数字特征：数学期望（均值）、方差、自相关函数、自协方差函数；,第3章 随机过程,【例】n台示波器同时观测并记录这n台接收机的输出噪声波形 样本函数i (t)：随机过程的一次实现，
2、是确定的时间函数。 随机过程： (t) =1 (t), 2 (t), , n (t) 是全部样本函数的集合。,随机过程的基本概念,在观察区间内，随机过程是时间的函数，每次观察结果（即每次实现）均可视为一个样本，无数次的结果亦即无数个样本构成了随机过程的样本空间； 在任一时刻上观察到的样值是不确定的，是一个随机变量；,第3章 随机过程,角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。 在任一给定时刻t1上，每一个样本函数i (t)都是一个确定的数值i (t1)，但是每个i (t1)都是不可预知的。 在一个固定时刻t1上，不同样本的取值i (t1), i = 1, 2, , n是一个随机变量，记为 (t1)
3、。 换句话说，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。 因此，我们又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。 这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。,随机过程的基本概念,随机变量与随机过程二者最大的区别在于：随机变量的样本空间是一个实数集合，而随机过程的样本空间是一个时间函数的集合。,分布函数与概率密度函数,随机过程 的一维分布函数： 随机过程 的一维概率密度函数：,第3章 随机过程,随机过程 (t) 的二维分布函数： 随机过程 (t)的二维概率密度函数： 若上式中的偏导存在的话。 随机过程 (t) 的n维分布函数： 随机过程 (t) 的n维概率密度函数：,分布函
4、数与概率密度函数,随机过程 的n维分布函数： 随机过程 的n维概率密度函数： n越大，对随机过程的描述越充分。,3.1.2 随机过程的数字特征 均值（数学期望）： 在任意给定时刻t1的取值 (t1)是一个随机变量，其均值 式中 f (x1, t1) (t1)的概率密度函数 由于t1是任取的，所以可以把 t1 直接写为t， x1改为x，这样上式就变为,第3章 随机过程, (t)的均值是时间的确定函数，常记作a ( t )，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心 :,a (t ),随机过程的数学期望（均值）,反映了随机过程各个时刻的数学期望（均值）随时间的变化情况； 本质上就是随机过程所有样本
5、函数的统计平均函数； 它由随机过程的一维概率分布决定； 表征了随机信号的直流分量；,方差 方差常记为 2( t )。这里也把任意时刻t1直接写成了t 。 因为 所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时刻 t 对于均值a ( t )的偏离程度。,均方值,均值平方,随机过程的方差,反映了随机过程在时刻 t 相对于均 值的偏离程度； 它由随机过程的一维概率分布决定； 表征了随机信号的交流平均功率； 随机过程的数学期望（均值）和方差仅描述了各孤立时刻的统计特性，无法反映不同时刻之间的联系，为此我们引入了自相关函数和自协方差函数，用来衡量随机过程在任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性
6、；,相关函数 式中， (t1)和 (t2)分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变量。可以看出，R(t1, t2)是两个变量t1和t2的确定函数。 协方差函数 式中 a ( t1 ) a ( t2 ) 在t1和t2时刻得到的 (t)的均值 f2 (x1, x2; t1, t2) (t)的二维概率密度函数。,相关函数和协方差函数之间的关系 若a(t1) = a(t2)，则B(t1, t2) = R(t1, t2) 互相关函数 式中(t)和(t)分别表示两个随机过程。 因此，R(t1, t2)又称为自相关函数。,平稳随机过程,狭义平稳（或严平稳）随机过程； 广义平稳（或宽平稳）随机过程； 平稳随机过
7、程的“各态历经性”； 平稳随机过程的自相关函数； 平稳随机过程的功率谱密度；,狭义平稳随机过程,平稳随机过程的统计特性将不随时间的推移而发生变化，即其任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关，亦即对于任意的正整数n和任意的实数 ，平稳随机过程 的n维概率密度函数满足：,狭义平稳随机过程,平稳随机过程的一维分布与时间 t 无关，二维分布仅与时间间隔 有关，即：,广义平稳随机过程,平稳随机过程的数学期望与时间 t 无关，自相关函数仅与时间间 隔 有关，即： 除特别声明，本课程所讨论的均 为广义平稳随机过程。,平稳随机过程的“各态历经性”,只有平稳随机过程才具有各态历经性，即平稳随机过程的任一实
8、现均经历了随机过程的所有可能状态，因而我们可以用任一实现的统计特性来描述平稳随机过程的统计特性，进而通过任一实现的时间平均特性得到平稳随机过程的统计平均特性。,平稳随机过程的“各态历经性”,例3-1 设一个随机相位的正弦波为 其中，A和c均为常数；是在(0, 2)内均匀分布的随机变量。试讨论(t)是否具有各态历经性。 【解】(1)先求(t)的统计平均值： 数学期望,自相关函数 令t2 t1 = ，得到 可见， (t)的数学期望为常数，而自相关函数与t 无关，只与时间间隔 有关，所以(t)是广义平稳过程。,(2) 求(t)的时间平均值 比较统计平均与时间平均，有 因此，随机相位余弦波是各态历经的
9、。,3.2.3 平稳过程的自相关函数 平稳过程自相关函数的定义：同前 平稳过程自相关函数的性质 (t)的平均功率 的偶函数 R()的上界 即自相关函数R()在 = 0有最大值。 (t)的直流功率 表示平稳过程(t)的交流功率。当均值为0时，有 R(0) = 2 。,3.2.4 平稳过程的功率谱密度 定义： 对于任意的确定功率信号f (t)，它的功率谱密度定义为 式中，FT ( f )是f (t)的截短函数fT (t) 所对应的频谱函数,第3章 随机过程,对于平稳随机过程 (t) ，可以把f (t)当作是(t)的一个样本；某一样本的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看作是对所
10、有样本的功率谱的统计平均，故 (t)的功率谱密度可以定义为,第3章 随机过程,功率谱密度的计算 维纳-辛钦关系 非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样成立，即有 简记为 以上关系称为维纳-辛钦关系。它在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具，它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。,在维纳-辛钦关系的基础上，我们可以得到以下结论： 对功率谱密度进行积分，可得平稳过程的总功率： 上式从频域的角度给出了过程平均功率的计算法。 各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。也就是说，每一样本函数的谱特性都能很好地表现整个
11、过程的的谱特性。 【证】因为各态历经过程的自相关函数等于任一样本的自相关函数，即 两边取傅里叶变换： 即 式中,功率谱密度P ( f )具有非负性和实偶性，即有 和 这与R()的实偶性相对应。,例3-2 求随机相位余弦波(t) = Acos(ct + )的自相关函数和功率谱密度。 【解】在例3-1中，我们已经考察随机相位余弦波是一个平稳过程，并且求出其相关函数为 因为平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换，即有 以及由于有 所以，功率谱密度为 平均功率为,高斯过程（正态随机过程）,高斯过程（正态随机过程）的性质； 高斯过程（正态随机过程）的一维分布： 一维概率密度函数； 一维分布函
12、数；,高斯过程的性质,对高斯过程 在 时刻观 察得到的一组随机变量 ，其n 维联合概率密度函数仅由各随 机变量的数学期望、方差和两两之 间的归一化协方差函数决定。 高斯过程宽平稳亦即严平稳。 若高斯过程中的各随机变量两两之,高斯过程的性质,间互不相关，则它们之间也是相互统计独立的，即：,高斯过程的一维概率密度函数,高斯过程的一维概率密度函数,关于 对称，即： 在 内单调上升，在 内单调下降，在 处有最大值 ，当 时， ； ，且有：,高斯过程的一维概率密度函数,对不同的 （固定 ），表现为 的图形左右平移；对不同的 （固定 ）， 的图形将随 的减小变高变窄。 当 时，即正态分布的标准化：,高斯过
13、程的一维分布函数,其中： 为误差函数；,高斯过程的一维分布函数,为互补误差函数； 误差函数与互补误差函数的性质；,误差函数与互补误差函数的性质,在 内单调上升； 是奇函数，即： 且 在 内单调下降； 且,窄带随机过程,窄带随机过程及其描述； 零均值平稳窄带高斯过程； 白噪声与带限白噪声；,窄带随机过程及其描述,若随机过程 的频谱被限制在某 个远离零频率的中心频率附近一个窄的频带范围内，则称之为窄带随机过程，即：,窄带随机过程及其描述,其中： 和 分别是窄带随机 过程 的包络函数和随机相位函 数， 和 分别称为 的同相 分量和正交分量，且：,窄带随机过程及其描述,零均值平稳窄带高斯过程,一个均值
14、为 0 ，方差为 的平稳窄带高斯过程 ，其同相分量 和正交分量 同样是平稳高斯过程，且均值都为 0 ，方差均为 ，即： 另外，在同一时刻得到的 和 是相互统计独立的。,零均值平稳窄带高斯过程,一个均值为 0 ，方差为 的平稳 窄带高斯过程 ，其包络 的 一维分布是瑞利分布，相位 的 一维分布是均匀分布，且就一维分布而言，在同一时刻得到的 和 是相互统计独立的，即：,零均值平稳窄带高斯过程,白噪声与带限白噪声,白噪声：功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声，即： 可见，白噪声在任意两 个时刻得到的随机变量 均互不相关。,白噪声与带限白噪声,带限白噪声：白噪声的功率谱密度被限制在某一频率范围内，
15、超出该范围则为零，即：,白噪声与带限白噪声,可见，带限白噪声只在 上得到的随机变量才互不相关。,白噪声与带限白噪声,若噪声的任意 n 维分布都服从高斯分布，则称之为高斯噪声。 若高斯噪声的功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的，则称之为高斯白噪声；若其功率谱密度被限制在某一频率范围内，超出该范围即为零，则称之为窄带高斯噪声。,正弦波加窄带随机过程,正弦波加窄带随机过程,包络 的一维分布服从广义瑞利分布（莱斯分布），即：,正弦波加窄带随机过程,其中： 为零阶修正贝塞尔函数，当 时， 单调上升，且 ； 若 A = 0 , 则 为瑞利分布。 相位 的一维分布较为复杂，故 不做讨论。 同相分量 和正交分量 均为高斯分布，且：,正弦波加窄带随机过程,则：,随机过程通过线性系统,输出随机过程的均值等于输入随机过程的均值与H(0)之积；表征了平稳随机过程通过线性系统后，输出的直流分量等于输入系统的直流分量与系统直流传递函数之积，即：,随机过程通过线性系统,平稳随机过程通过线性系统后，输出随机过程也是平稳的。 平
