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1、第八章,第七节,一、方向导数,二、梯度,方向导数与梯度,假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比,一、方向导数 1.问题的提出,一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属受热,在(3,2)处有一个蚂蚁，问：,这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,问题1,问题的实质：,应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即温度的梯度相反方向）爬行.,问题2,2.方向导数的定义,设l 是xOy 平面上以,是与l 同方向的,为始点的,定义8.8,单位向量.,函数 z = f (x, y) 在点P0(x0 , y0 ) 的某个邻域
2、,一条射线，,内有定义，,为l上另一点，且,射线l 的参数方程为,存在，,则称此极限为函数 f ( x, y)在点P0沿方向 l 的,方向导数，记作,即,1 方向导数的其他形式：,注,2 方向导数的几何意义,过点P0 沿l 作垂直于xOy 面的平面，,与曲面 z = f (x, y)的交线在曲面上相应点M 处的切线MTl(若存在)关于l 方向的斜率:,该平面,3. 方向导数的计算,则,本质上，方向导数计算可归结为一元函数导数计算,(1) 用定义,例1,在点 (1, 2) 处沿方向,的方向导数.,解,当函数f(x,y)在点,可微时,又有如下的计算,方向导数的办法.,定理8.9,证 由函数,且有,
3、得,在点 可微 ,(2) 用公式,故,解,例2,方向导数概念可推广到三元函数：,同样有，当函数在一点可微时，则函数在该点,沿任意方向的方向导数都存在，且有,(1),方向导数与偏导数的关系,存在,4. 概念之间的关系,存在，且,证,P,l,x,y,o,P,l,P,？,即,但,存在,存在,反例：,（自己证）,(2),可微,可偏导,沿任意方向的方向导数存在,反例1,反例2,不存在.,设从x轴正方向到射线 l的转角为，求函数,的方向导数.,并问: l是怎样的方向时，此方向导数,解,由方向导数的计算公式知,例4,故,方向导数达到最小值,方向导数达到最大值,二、梯度,从例4 看到,到最大值,函数在点P 沿
4、哪一个方向增加的速度最快？,观察向量：,恰好与,同方向，,最大.,这是巧合吗？,不是！,1.定义8.9,设二元函数,为函数 z = f (x, y) 在点 P 处的梯度,记作,( gradient ),在点,具有偏导数，,称向量,(1),(2),可微函数 z = f (x, y) 的梯度有下列性质：,2. 梯度与方向导数的关系,证 (1),(2),取得最大值:,注,1,沿梯度相反方向，,2,梯度的概念可以推广到三元函数,类似于二元函数，三元函数的梯度也有上述性质.,方向：是函数值增加最快的方向,模 : 等于函数的方向导数最大值,求函数,在点,处的梯度.,解,则,注意 x , y , z 具有轮
5、换对称性,例5,称为函数,3. 梯度的几何意义,(1) 等高线,z = f (x, y)的等高(值)线 .,z =c2,z =c1,(2) 等高线 f (x, y) = c 的法向量,(3) 等高线上的法向量与梯度的关系, 0,故 z = f (x, y) 在点 P( x, y )的梯度恰为等高线 f (x, y) = c 在这点的一个法向量，其指向为：从 数值较低的等高线到数值较高的等高线，而梯度的模等于函数沿这个法线方向的方向导数,等高线,梯度为等高线上的一个法向量，其指向为：从数值较低的等高线到数值较高的等高线.,函数在一点的梯度垂直于该点等值面,指向函数,同样, 对应三元函数,有等值面(等量面),当各偏导数不同时为零时,等值面上,点P处的法向量为,增大的方向.,例6,解(方法1),恰为等高线 ( u = 0 ),内,(方法2),4. 梯度的基本运算公式,例7,证,试证,内容小结,1. 方向导数计算公式, 三元函数,在点,沿方向 l (方向角,的方向导数为, 二元函数,在点,的方向导数为,沿方向 l (方向角为,可微时方可用,2. 梯度, 三元函数,在点,处的梯度为, 二元函数,在点,处的梯度为,3. 关系,方向导数存在,偏导数存在, 可微,解,令,故,方向余弦为,例3-2,+,外侧,备用题,故,
