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1、Outline,1. 控制系统的数学模型,2. 控制系统建模实例,3. 实现问题,4. 常微分方程数值解法,5. 数值算法中的“病态”问题,6. 数字仿真中的“代数环” 问题,Outline,1. 控制系统的数学模型,1.1 控制系统数学模型的表示形式,1.2 数学模型的转换,1.3 线性时不变系统的对象数据类型描述,2. 控制系统建模实例,3. 实现问题,4. 常微分方程数值解法,5. 数值算法中的“病态”问题,1.4 控制系统建模的方法,6. 数字仿真中的“代数环” 问题,1.1 控制系统数学模型的表示形式,根据系统数学描述方法的不同，可建立不同形式的数学模型,1 微分方程形式,设线性定常
2、系统输入、输出量是单变量，分别为u(t),y(t),控制系统的数学模型,模型参数形式为：,输出系统向量 ， n+1维,输入系统向量 ， m+1维,(2-1),1.1 控制系统数学模型的表示形式,2 状态方程形式,当控制系统输入、输出为多变量时，可用向量分别表示为U(t)，Y(t)，系统的内部状态变量为X(t),模型参数形式为：,系统系数矩阵A，系统输入矩阵B 系统输出矩阵C，直接传输矩阵D 状态初始向量X0,简记为(A,B,C,D)形式。,(2-2),控制系统的数学模型,X(t0)=X0,1.1 控制系统数学模型的表示形式,3 传递函数形式,在零初始条件下，将(2-1) 方程两边进行拉氏变换，
3、则有,(2-4),模型参数可表示为,传递函数分母系数向量,传递函数分子系数向量,用num=B,den=A分别表示分子、分母参数向量，则可简练的表示为(num,den)，称为传递函数二对组模型参数,控制系统的数学模型,1.1 控制系统数学模型的表示形式,4 零极点增益形式,将(2-4)中的分子，分母分解为因式连乘形式，则有,(2-6),模型参数可表示为,系统零点向量：,系统极点向量： 系统零极点增益：K,简记为(Z,P,K)形式，称为零极点增益三对组模型参数。,控制系统的数学模型,1.1 控制系统数学模型的表示形式,5 部分分式形式,将传递函数表示为如下形式,(2-7),模型参数可表示为,极点留
4、数向量：,系统极点向量：,余式系数向量：,简记为(R,P,H),称为极点留数模型参数。,控制系统的数学模型,1.2 数学模型的转换,1 微分方程与传递函数形式,两者的模型参数向量完全一样。,2 零极点增益与传递函数形式,Matlab函数tf2zp()和zp2tf()用来完成两种形式之间的转换,如 z,p,k=tf2zp(num,den)；num,den=zp2tf(z,p,k),3 状态方程与传递函数或零极点增益形式,ss2tf()和tf2ss()用来状态方程与传递函数间转换,如 num,den=ss2tf(A,B,C,D);A,B,C,D=tf2ss(num,den),控制系统的数学模型,1
5、.2 数学模型的转换,4 部分分式与传递函数或零极点增益形式,ss2zp()和zp2ss()用来状态方程与零极点增益形式间转换,如 z,p,k=ss2tf(A,B,C,D);A,B,C,D=tf2ss(z,p,k),传递函数转化为部分分式形式的关键在于求取极点的留数 可通过residue()函数来完成。,如R, P, H=residue (num, den) num, den=residue (R, P, H),控制系统的数学模型,1.3 线性时不变系统的对象数据类型描述,现有Matlab语言中，添加了“对象数据类型”,可以用各种系统模型来建立。,G=tf(num,den) G=zpk(Z,P
6、,K) G=ss(A,B,C,D),也可以通过以下函数获得模型参数向量,num,den=tfdata(G) A,B,C,D=ssdata(G) Z,P,K=zpkdata(G),控制系统的数学模型,1.4 控制系统建模的基本方法,1 机理模型法,采用由一般到特殊的推理演绎方法，对已知结构、参数的物理系统运用相应的物理定律或定理，经过合理分析简化而建立起来的描述系统各物理量动、静态变化性能的数学模型。,例：位置伺服闭环控制系统,控制系统的数学模型,1.4 控制系统建模的基本方法,(1) 同步误差检测器,(2) 放大器,(3) 直流电动机,(4) 测速发电机,(5) 负载输出,控制系统的数学模型,
7、1.4 控制系统建模的基本方法,该系统总传递函数GB(s),将各环节连接起来构成系统的总结构图,控制系统的数学模型,2 统计模型法,采用由特殊到一般的逻辑、归纳方法，根据一定数量的在系统运行过程中实测、观察的物理数据，运用统计规律、系统辨识等理论合理估计出反映实际系统各物理量相互制约关系的数学模型。,1.4 控制系统建模的基本方法,例：通过实验方法测得某系统的开环频率响应，来建立该系统的开环传递函数模型,控制系统的数学模型,1.4 控制系统建模的基本方法,(1) 由已知数据绘制该系统开环频率响应bode图,(2) 用20dB/dec及其倍数的折线逼近幅频特性，得到两个转折频率,相应的惯性环节时
8、间常数为,(3) 由低频幅频特性可知,控制系统的数学模型,1.4 控制系统建模的基本方法,(4) 由高频段相频特性知，该系统存在纯滞后环节，为非最小相位系统，系统的开环传递函数应为以下形式,(5) 确定纯滞后时间值,再查图中,(6) 最终求得该系统的开环传递函数模型G(s)为,控制系统的数学模型,3 混合模型法,1.4 控制系统建模的基本方法,当对控制的内部结构和特性有部分了解，但又难以完全用机理模型的方法表述出来，这时需要结合一定的实验方法确定另外一部分不甚了解的结构特性，或是通过实际测定来求取模型参数。这种方法是机理模型法和统计模型法的结合，故称为混合模型法。,总之,无论采用何种建模方法，
9、其实质就是设法获取有关系统尽可能多的信息并经过恰当信息处理而得到对系统准确合理的描述。上述三种建模的方法只是信息处理过程不同而已，在实际建模过程中应灵活掌握应用 。,控制系统的数学模型,Outline,1. 控制系统的数学模型,2.1 独轮自行车实物仿真问题,2.2 龙门起重机运动控制问题,2.3 水箱液位控制问题,2. 控制系统建模实例,3. 实现问题,4. 常微分方程数值解法,5. 数值算法中的“病态”问题,2.4 燃煤热水锅炉控制问题,2.5 三相电压型PWM整流器系统控制问题,2.6 磁悬浮轴承运动控制问题,6. 数字仿真中的“代数环” 问题,2.3 水箱液位控制问题,1. 问题的提出
10、：,工业过程控制领域中，诸如电站锅炉汽包水位控制，化学反应釜液位控制，化工配料系统的液位控制等问题，均可等效为水箱液位控制问题。,控制系统的建模实例,2.3 水箱液位控制问题,2. 建模的机理：,(1) 雷诺系数,(2) 紊流,(3) 层流,当液体的雷诺系数Re2000，流体的流态称为紊流。紊流表征了流体在传递中有能量损失，质点运动紊乱 (有横向分量),当液体的雷诺系数Re2000，流体的流态称为层流。层流表征了流体在传递中能量损失很少，质点运动有序 (沿轴向方向),其中v为液体流速，d为管道口径，r为液体黏度,雷诺系数反应了液体在管道中流动时的物理性能,控制系统的建模实例,2.3 水箱液位控
11、制问题,其中Qin为层流， Qout为紊流,3. 系统建模,4.模型简化,水箱出口处为紊流状态,将其在水箱的平衡点P(q0 ，h0)处线性化,控制系统的建模实例,2.3 水箱液位控制问题,出口处液阻为,我们可将水箱在平衡点附近的非线性系统简化为线性系统,即,两边取拉氏变换,控制系统的建模实例,Outline,1. 控制系统的数学模型,3.1 单变量系统的可控标准型实现,3.4 控制系统的数字仿真实现,2. 控制系统建模实例,3. 实现问题,4. 常微分方程数值解法,5. 数值算法中的“病态”问题,3.2 单变量系统的可观标准型实现,3.3 单变量系统状态变量初值的计算,6. 数字仿真中的“代数
12、环” 问题,3.1 单变量系统的可控标准型实现,设系统的传递函数形式为,对上式设,拉氏反变换有,引入n维状态变量,实现问题,3.1 单变量系统的可控标准型实现,则可得到一阶微分方程组,同样可将其描述为状态空间表达式,实现问题,3.1 单变量系统的可控标准型实现,将系统的状态方程用图形的方式表示为,实现问题,3.2 单变量系统的可观标准型实现,设系统的微分方程形式为,对微分方程积分n次，得,实现问题,令,3.2 单变量系统的可观标准型实现,则可得到一阶微分方程组,同样可将其描述为状态空间表达式,实现问题,3.2 单变量系统的可观标准型实现,由此可以得出：,实现问题,3.3 单变量系统状态变量初值
13、的计算,设系统的微分方程形式为,经计算，有,引入n维状态变量,实现问题,3.3 单变量系统状态变量初值的计算,则可得到一阶微分方程组,同样可将其描述为状态空间表达式,实现问题,3.3 单变量系统状态变量初值的计算,例 已知微分方程及初值如下，将其化成状态空间表达式，并给出状态变量的初值。,实现问题,解: 根据公式写出状态空间表达式：,由状态变量表达式，得：,即：,注：这里求出的状态变量初值是对应3.3状态空间表达式的状态变量初值，而不对应可控、可观标准型的状态变量初值。,3.4 控制系统的数字仿真实现,控制系统计算机仿真技术所要求的“实现问题”是指将已得到的控制系统数学模型通过一定的方法、手段
14、转化为可在数字计算机上运行求解的“仿真模型”，称作“二次化模型”过程。,良好的算法软件，可以使系统仿真研究人员把精力集中于仿真模型的建立和求解方法的确定、仿真结果的分析和控制系统的设计这类重要和关键的问题上来。,美国学者Clever Moler等人于1980年推出交互式MATLAB语言。在此基础上，陆续出现的许多专门用于控制系统分析与CAD的工具箱，对系统仿真技术的发展起很大的推动作用。,实现问题,Outline,1. 控制系统的数学模型,4.2 数值积分法,4.1 数值求解的基本概念,2. 控制系统建模实例,3. 实现问题,4. 常微分方程数值解法,5. 数值算法中的“病态”问题,4.3 关
15、于数值积分法的几点讨论,4.4 MATLAB实现,6. 数字仿真中的“代数环” 问题,4.1 数值求解的基本概念,1. 数值求解的基本概念,设微分方程为,则求解方程中函数y(t)问题称为常微分方程初值问题,所谓数值求解就是要在时间区间a, b中取若干离散点,求出微分方程在这些时刻的近似值,常微分方程数值解法,4.1 数值求解的基本概念,常用微分方程数值解的基本方法有以下几种,1.差商法,用差分形式近似代替导数,则微分方程转化为,由此可得微分方程初值问题的数值解序列值为,常微分方程数值解法,2. 台劳展开法,4.1 数值求解的基本概念,将函数f(t)在tk附近可展开为台劳多项式,则微分方程可化为
16、,按精度要求，取适当的项数n，即可递推求解。当取n=1时，则与差商法一样。,记,常微分方程数值解法,4.1 数值求解的基本概念,3. 数值积分法,将微分方程在小区间tk ，tk+1上积分,于是在区间a,b上，则有,常微分方程数值解法,4.2 数值积分法,1. 欧拉法,一阶微分方程重写为,在tk,tk+1区间上积分,由导数定义知,取,设h足够小，得,常微分方程数值解法,于是可以得到微分方程的数值解为,这种方法的几何意义就是把f(t,y)在区间tk,tk+1内的曲边面积用矩形面积近似代替。计算简单，计算量小，而且可以自启动。当h很小时，造成的误差是允许的。该算法具有一阶精度。,取k=0,1,2,N,从t0开始，逐点递推求解t1时的y1， t2时的y2,直至tn时的yn，称之为欧拉递推公式。,4.2 数值积分法,常微分方程数值解法,4.2 数值积分法,2. 龙格库塔法,基本思想：用函数值f(t,y)的线性组合来代替f(t,y)的高阶导数项,设y(t)为微分方
