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1、几何最值问题解法探讨 -专题,解决平面几何最值问题的常用的方法有： （1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值； （2）应用垂线段最短的性质求最值； （3）应用轴对称的性质求最值； （4）应用二次函数求最值； （5）应用其它知识求最值。,第一步 寻找、构造几何模型,第二步 计算,解题步骤,一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值,例1. （2012山东济南3分）如图MON=90，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为【
2、 】 A B C 5D,A,例2.（2012湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC中，BC= ，ABC=45，BD平分ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是 。,4,例3.（2011四川凉山5分）如图，圆柱底面半径为 2cm，高为9 cm ，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为 。,15,练习题： 1. 如图，长方体的底面边长分别为2 和4 ，高为5 .若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为【 】 A.13cm B.12cm C.10cm D.8cm 2. 如图，圆柱的底
3、面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC= 2/3BC一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是【 】 A、 B、5cm C、 D、7cm,3. 如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则BPG的周长的最小值是 ,二、应用垂线段最短的性质求最值：,例1. （2012山东莱芜4分）在ABC中，ABAC5，BC6若点P在边AC上移动，则BP的最小值是 ,例2.（2012四川广元3分） 如图点A的坐标为（-1，0），点B在直线 y=x上运动，当线段AB最短时，点B的
4、坐标为【 】,例3如图，ABC中，BAC=60，ABC=45，AB=2 ，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 。,例4.（2012浙江台州4分）如图，菱形ABCD中，AB=2，A=120，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【 】 A1 B C 2 D 1,B,例5（2012福建南平14分）如图，在ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且1=B=C （1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证
5、明） 答：结论一： ；结论二： ；结论三： （2）若B=45，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合）， 求CE的最大值； 若ADE是等腰三角形，求此时BD的长 （注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）,练习1. （2011浙江衢州3分）如图，OP平分MON，PAON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为【 】 A、1B、2 C、3D、4,2.（2011浙江台州4分）如图，O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切O于点Q，则PQ的最小值为【 】 A B C3 D2,3.（2011河南省3分）如图
6、，在四边形ABCD中，A=90，AD=4，连接BD，BDCD，ADB=C若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为 ,三、应用轴对称的性质求最值,唐朝诗人李欣的诗古从军行开头两句说“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题-将军饮马问题：,白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河,提取模型-两动一定型,两条线段和的最小值 两点之间，线段最短,当P运动到E时，PAPB最小,问题的本质,实际上就是“折化直”的问题，利用两点之间 线段最短 。从数学思想的角度来看，实际体 现了转化思想，通过什么方法来实现转化思 想轴对称变换。,轴对称变换在几何最值中的应用,1、如图，正方形ABCD中，E是AB
7、边上一点，AB=4，AE=2, P为AC上任意一点，则BP+EP最小值是（ ）,变式1：菱形的边长为4，E是AB中点， P为AC上任意一点，则BP+EP最小值是（ ）,变式2：在ABC中，AC=BC=2，ACB=90O，D是BC边的中点，E是AB上的一动点，则EC+ED的最小值为 。,A,C,B,E,变式3：ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，试在AB上找一点P，在BC上取一点M，使CP+PM的值最小，并求出这个最小值。,A,B,C,P,M,D,轴对称变换在几何最值中的应用,2、如图，AB是O的直径，AB=4，OC是O的半径，OCAB，点D在弧AC上， P是OC上一动点，那么AP+PD的最
8、小值是 。,O,3.如图，MN为O的直径，A、B是O上的两点，过A作ACMN于点C，过B作BDMN于点D，P为DC上的任意一点，若MN20，AC8，BD6，则PAPB的最小值是。,实战演习（2013日照）问题背景：如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使 AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B， 连接A B与直线l交于点C，则点C即为所求 （1）实践运用：如图（b），已知，O的直径CD为4，点A 在O 上， ACD=30，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点， 则BP+AP的最小值为 （2）知识拓展：如图（c），在RtABC中，AB=10，BAC=
9、45，BAC的 平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点， 求BE+EF的最小值，并写出解答过程,第一步 寻找、构造几何模型,第二步 计算,例1. （2012山东青岛3分）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm,15,例2.如图，AOB=45，角内有一动点P ，PO=10，在AO，BO上有两动点Q，R，求PQR周长的最小值。,A,B,O,P,D,E,R,Q,例3. （2012甘肃兰州4分）如图，四边形ABCD中，BAD120，BD90，在
10、BC、CD上分别找一点M、N，使AMN周长最小时，则AMNANM的度数为【 】 A130 B120 C110 D100,B,思维拓展:在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小？如果存在,求出周长的最小值;如果不存在,请说明理由.,（1,2）,（3,1）,要求四边形MNFE的周长最小？,把三条线段转移到同一条直线上就好了！,第一步 寻找、构造几何模型,E,F,E/,F/,M,N,第二步 计算勾股定理,根据两点之间线段最短 找到动点的位置，,小结,线段和差的最值问题解题策略,经典模型：台球两次碰壁问题,经验储存：没有经验，难有思路,例3：在平面直角坐标系中，RtAOB的顶点
11、坐标分别是A(-2，0)，O(0,0)，B(0，4），把AOB绕O点按顺时针旋转90度，得到COD，（1）求C、D的坐标，（2）求经过A、B、D三点的抛物线。（3）在（2）中的抛物线的对称轴上取两点E、F（E在F点的上方），且EF=1，当四边形ACEF的周长最小时，求E、F的坐标。,A,B,C,E,F,D,D/,O,通过构造平行四边形先找到所求 的其中一个动点的位置，另一个 位置也随之确定。,例4. （2012福建莆田4分）点A、均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示若P是x轴上使得PA-PB 的值最大的点，Q是y轴上使得QA十QB的值最小的点，则,5,练习题
12、： 1. （2011黑龙江大庆3分）如图，已知点A(1，1)、B(3，2)，且P为x轴上一动点，则ABP的周长的最小值为 2. （2011辽宁营口3分）如图，在平面直角坐标系中，有A(1，2)，B(3，3)两点，现另取一点C(a，1)，当a 时，ACBC的值最小 3.（2011山东济宁8分）去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水。经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为 轴建立直角坐标系（如图）。两村的坐标分别为A（2，3），B（12，7）。 (1) 若从节约经费考虑，
13、水泵站建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管道最短？ (2) 水泵站建在距离大桥O多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？,4.（2011辽宁本溪3分）如图，正方形ABCD的边长是4，DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值【 】 A、2 B、4 C、 D、 5.（2011辽宁阜新3分）如图，在矩形ABCD中，AB6，BC8，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当AEF的周长最小时，则DF的长为【 】 A1B2C3D4,6.（2011贵州六盘水3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC
14、上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是 【 】 A3 B4 C5 D6 7.（2011甘肃天水4分）如图，在梯形ABCD中，ABCD，BAD=90，AB=6，对角线AC平分BAD，点E在AB上，且AE=2（AEAD），点P是AC上的动点，则PE+PB的最小值是 ,四、应用二次函数求最值：,例1. （2012四川自贡4分）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BCCD上两个动点，且始终保持AMMN，当BM= cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为 cm2,五、应用其它知识求最值：,例2.（2012广西来宾3分）如图，已知线段OA交O于点B，且OB=AB，点P是O上的一个动点，那么OAP的最大值是【 】 A30 B45 C60 D90,A,
