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1、几何最值问题解法探讨 -专题,解决平面几何最值问题的常用的方法有: (1)应用两点间线段最短的公理(含应用三角形的三边关系)求最值; (2)应用垂线段最短的性质求最值; (3)应用轴对称的性质求最值; (4)应用二次函数求最值; (5)应用其它知识求最值。,第一步 寻找、构造几何模型,第二步 计算,解题步骤,一、应用两点间线段最短的公理(含应用三角形的三边关系)求最值,例1. (2012山东济南3分)如图MON=90,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM,ON上,当B在边ON上运动时,A随之在边OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2,BC=1,运动过程中,点D到点O的最大距离为【
2、 】 A B C 5D,A,例2.(2012湖北鄂州3分)在锐角三角形ABC中,BC= ,ABC=45,BD平分ABC,M、N分别是BD、BC上的动点,则CM+MN的最小值是 。,4,例3.(2011四川凉山5分)如图,圆柱底面半径为 2cm,高为9 cm ,点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点,且A、B在同一母线上,用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B,求棉线最短为 。,15,练习题: 1. 如图,长方体的底面边长分别为2 和4 ,高为5 .若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点,则蚂蚁爬行的最短路径长为【 】 A.13cm B.12cm C.10cm D.8cm 2. 如图,圆柱的底
3、面周长为6cm,AC是底面圆的直径,高BC=6cm,点P是母线BC上一点,且PC= 2/3BC一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是【 】 A、 B、5cm C、 D、7cm,3. 如图所示,在边长为2的正三角形ABC中,E、F、G分别为AB、AC、BC的中点,点P为线段EF上一个动点,连接BP、GP,则BPG的周长的最小值是 ,二、应用垂线段最短的性质求最值:,例1. (2012山东莱芜4分)在ABC中,ABAC5,BC6若点P在边AC上移动,则BP的最小值是 ,例2.(2012四川广元3分) 如图点A的坐标为(-1,0),点B在直线 y=x上运动,当线段AB最短时,点B的
4、坐标为【 】,例3如图,ABC中,BAC=60,ABC=45,AB=2 ,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画O分别交AB,AC于E,F,连接EF,则线段EF长度的最小值为 。,例4.(2012浙江台州4分)如图,菱形ABCD中,AB=2,A=120,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为【 】 A1 B C 2 D 1,B,例5(2012福建南平14分)如图,在ABC中,点D、E分别在边BC、AC上,连接AD、DE,且1=B=C (1)由题设条件,请写出三个正确结论:(要求不再添加其他字母和辅助线,找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中,不必证
5、明) 答:结论一: ;结论二: ;结论三: (2)若B=45,BC=2,当点D在BC上运动时(点D不与B、C重合), 求CE的最大值; 若ADE是等腰三角形,求此时BD的长 (注意:在第(2)的求解过程中,若有运用(1)中得出的结论,须加以证明),练习1. (2011浙江衢州3分)如图,OP平分MON,PAON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=2,则PQ的最小值为【 】 A、1B、2 C、3D、4,2.(2011浙江台州4分)如图,O的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线l上的一个动点,PQ切O于点Q,则PQ的最小值为【 】 A B C3 D2,3.(2011河南省3分)如图
6、,在四边形ABCD中,A=90,AD=4,连接BD,BDCD,ADB=C若P是BC边上一动点,则DP长的最小值为 ,三、应用轴对称的性质求最值,唐朝诗人李欣的诗古从军行开头两句说“白日登山望峰火,黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题-将军饮马问题:,白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河,提取模型-两动一定型,两条线段和的最小值 两点之间,线段最短,当P运动到E时,PAPB最小,问题的本质,实际上就是“折化直”的问题,利用两点之间 线段最短 。从数学思想的角度来看,实际体 现了转化思想,通过什么方法来实现转化思 想轴对称变换。,轴对称变换在几何最值中的应用,1、如图,正方形ABCD中,E是AB
7、边上一点,AB=4,AE=2, P为AC上任意一点,则BP+EP最小值是( ),变式1:菱形的边长为4,E是AB中点, P为AC上任意一点,则BP+EP最小值是( ),变式2:在ABC中,AC=BC=2,ACB=90O,D是BC边的中点,E是AB上的一动点,则EC+ED的最小值为 。,A,C,B,E,变式3:ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,试在AB上找一点P,在BC上取一点M,使CP+PM的值最小,并求出这个最小值。,A,B,C,P,M,D,轴对称变换在几何最值中的应用,2、如图,AB是O的直径,AB=4,OC是O的半径,OCAB,点D在弧AC上, P是OC上一动点,那么AP+PD的最
8、小值是 。,O,3.如图,MN为O的直径,A、B是O上的两点,过A作ACMN于点C,过B作BDMN于点D,P为DC上的任意一点,若MN20,AC8,BD6,则PAPB的最小值是。,实战演习(2013日照)问题背景:如图(a),点A、B在直线l的同侧,要在直线l上找一点C,使 AC与BC的距离之和最小,我们可以作出点B关于l的对称点B, 连接A B与直线l交于点C,则点C即为所求 (1)实践运用:如图(b),已知,O的直径CD为4,点A 在O 上, ACD=30,B 为弧AD 的中点,P为直径CD上一动点, 则BP+AP的最小值为 (2)知识拓展:如图(c),在RtABC中,AB=10,BAC=
9、45,BAC的 平分线交BC于点D,E、F分别是线段AD和AB上的动点, 求BE+EF的最小值,并写出解答过程,第一步 寻找、构造几何模型,第二步 计算,例1. (2012山东青岛3分)如图,圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm,15,例2.如图,AOB=45,角内有一动点P ,PO=10,在AO,BO上有两动点Q,R,求PQR周长的最小值。,A,B,O,P,D,E,R,Q,例3. (2012甘肃兰州4分)如图,四边形ABCD中,BAD120,BD90,在
10、BC、CD上分别找一点M、N,使AMN周长最小时,则AMNANM的度数为【 】 A130 B120 C110 D100,B,思维拓展:在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小?如果存在,求出周长的最小值;如果不存在,请说明理由.,(1,2),(3,1),要求四边形MNFE的周长最小?,把三条线段转移到同一条直线上就好了!,第一步 寻找、构造几何模型,E,F,E/,F/,M,N,第二步 计算勾股定理,根据两点之间线段最短 找到动点的位置,,小结,线段和差的最值问题解题策略,经典模型:台球两次碰壁问题,经验储存:没有经验,难有思路,例3:在平面直角坐标系中,RtAOB的顶点
11、坐标分别是A(-2,0),O(0,0),B(0,4),把AOB绕O点按顺时针旋转90度,得到COD,(1)求C、D的坐标,(2)求经过A、B、D三点的抛物线。(3)在(2)中的抛物线的对称轴上取两点E、F(E在F点的上方),且EF=1,当四边形ACEF的周长最小时,求E、F的坐标。,A,B,C,E,F,D,D/,O,通过构造平行四边形先找到所求 的其中一个动点的位置,另一个 位置也随之确定。,例4. (2012福建莆田4分)点A、均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上,建立平面直角坐标系如图所示若P是x轴上使得PA-PB 的值最大的点,Q是y轴上使得QA十QB的值最小的点,则,5,练习题
12、: 1. (2011黑龙江大庆3分)如图,已知点A(1,1)、B(3,2),且P为x轴上一动点,则ABP的周长的最小值为 2. (2011辽宁营口3分)如图,在平面直角坐标系中,有A(1,2),B(3,3)两点,现另取一点C(a,1),当a 时,ACBC的值最小 3.(2011山东济宁8分)去冬今春,济宁市遭遇了200年不遇的大旱,某乡镇为了解决抗旱问题,要在某河道建一座水泵站,分别向河的同一侧张村A和李村B送水。经实地勘查后,工程人员设计图纸时,以河道上的大桥O为坐标原点,以河道所在的直线为 轴建立直角坐标系(如图)。两村的坐标分别为A(2,3),B(12,7)。 (1) 若从节约经费考虑,
13、水泵站建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管道最短? (2) 水泵站建在距离大桥O多远的地方,可使它到张村、李村的距离相等?,4.(2011辽宁本溪3分)如图,正方形ABCD的边长是4,DAC的平分线交DC于点E,若点P、Q分别是AD和AE上的动点,则DQ+PQ的最小值【 】 A、2 B、4 C、 D、 5.(2011辽宁阜新3分)如图,在矩形ABCD中,AB6,BC8,点E是BC中点,点F是边CD上的任意一点,当AEF的周长最小时,则DF的长为【 】 A1B2C3D4,6.(2011贵州六盘水3分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC=6,BD=8,点E、F分别是边AB、BC的中点,点P在AC
14、上运动,在运动过程中,存在PE+PF的最小值,则这个最小值是 【 】 A3 B4 C5 D6 7.(2011甘肃天水4分)如图,在梯形ABCD中,ABCD,BAD=90,AB=6,对角线AC平分BAD,点E在AB上,且AE=2(AEAD),点P是AC上的动点,则PE+PB的最小值是 ,四、应用二次函数求最值:,例1. (2012四川自贡4分)正方形ABCD的边长为1cm,M、N分别是BCCD上两个动点,且始终保持AMMN,当BM= cm时,四边形ABCN的面积最大,最大面积为 cm2,五、应用其它知识求最值:,例2.(2012广西来宾3分)如图,已知线段OA交O于点B,且OB=AB,点P是O上的一个动点,那么OAP的最大值是【 】 A30 B45 C60 D90,A,