第八章 多元函数微分学课件讲义教材

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1、高数课件,重庆大学数理学院 教师 吴新生,第八章 多元函数微分法及其应用,开 始,退出,第一节 多元函数的基本概念,返 回,第二节 偏导数,第四节 多元复合函数的求导法则,第五节 隐函数的求导公式,第六节 微分法在几何上的应用,第八节 多元函数的极值及其求法,第七节 方向导数与梯度,第三节 全微分,总习题,第一节 多元函数的基本概念 一、区域 1.邻域 设 是xOy平面上的一个点，是某一正数.与点 距离小于的点 的全体称为 的邻域，记为 ，即 也就是,返 回,下一页,2.区域 设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点.如果存在点P的某一邻域 使 ， 则称P为E的内点(图8-1). 如果点集E

2、的点都是内点，则 称E为开集. 如果点P的任一邻域内既有属 P 于E的点，也有不属于E的点， E 则称P为E的边界点（图8-2）. 设D是开集.如果对于D内的 图 8-1 任何两点，都可用折线连结起,下一页,上一页,返 回,来,而且该折线上的点都属于D, P 则称开集D是连通的. 连通的开集称为区域或开区域. E 开区域连同它的边界一起,称 为闭区域. 图 8-2 3.n维空间 设n为取定的一个自然数,我们称有序n元数组 的全体为n维空间,而每个有序n元数组 称为n维空间中的一个点,数 称,返 回,下一页,上一页,为该点的第i个坐标,n维空间记为 . n维空间中两点 及 间的距离规定为,返 回

3、,下一页,上一页,二、多元函数概念 定义1 设D是平面上的一个点集.如果对于每个点P=(x,y)D,变量z按照一定法则总有确定的值和它对应,则称z是变量x、y的二元函数(或点P的函数),记为 点集D称为该函数的定义域,x、y称为自变量,z,例题,返 回,下一页,上一页,也称为因变量,数集 称为该函数的值域. 把定义1中的平面点集D换成n维空间内的点集D.则可类似的定义n元函数 .当n=1时，n元函数就是一元函数.当n2时n元函数统称为多元函数.,返 回,下一页,上一页,三、多元函数的极限 二元函数 当 , ,即 时的极限. 这里 表示点 以任何方式趋于 ，也就 是点 与点 间的距离趋于零，即

4、定义2 设函数f(x,y)在开区域（或闭区域）内有定义， 是D的内点或边界点如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式,返 回,下一页,上一页,的一切点P(x,y)D，都有 成立，则称常A为函数f(x,y)当 ， 时的极限，记作 或 这里 .,例题,返 回,下一页,上一页,四、多元函数的连续性 定义3 设函数f(x,y)在开区域(或闭区域)D内有定义， 是D的内点或边界点且 . 如果 则称函数f(x,y)在点 连续. 若函数f(x,y)在点 不连续，则称 为函数f(x,y)的间短点. 函数,返 回,下一页,上一页,当x0,y0时的极限不存在，所以点(0,0)是该函数的一个间断点.

5、函数 在圆周 上没有定义，所以该圆周上各点都是间断点，是一条曲线. 性质1(最大值和最小值定理) 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值. 在D上至少有一点 及一点 ，使得 为最大值而 为最小值，即对于一切PD，有,返 回,下一页,上一页,性质2(介值定理) 在有界闭区域D上的多元函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。 如果是函数在D上的最小值m和最大值M之间的一个数，则在D上至少有一点Q，使得f(Q)=. *性质3(一致连续性定理) 在有界闭区域上的多元连续函数必定在D上一致连续. 若f(P)在有界闭区域D上连续，那么对于任

6、意给定的正数，总存在正数，使得对于D上的,返 回,下一页,上一页,任意二点 ，只要当 时，都有 成立. 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的. 由多元初等函数的连续性，如果要求它在点 处的极限，而该点又在此函数的定义区域内，则极限值就是函数在该点函数值，即,例题,返 回,上一页,一.偏导数的定义及其计算方法,二.高阶偏导数,第二节 偏导数,习题,返 回,一、偏导数的定义及其计算方法 定义 设函数 在点 的某一邻域内有定义，当y固定在 而x固定在 处有增量x 时，相应地函数有增量 如果 （1） 存在，则称此极限为函数 在点 处对x的偏导数 ，记作,返 回,下一页,例如，极限(1)可以表示为 (

7、2) 类似地,函数 在点 对y的偏导数定义为,返 回,下一页,上一页,(3) 记作 如果函数 在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数就是 x、y函数,它就称为函数 对自变量x的偏导函数，记作,返 回,下一页,上一页,类似的，可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导函数，记作 求 时只要把y暂时看作常量对x求导数；求 时只要把暂x时看作常量对y求导数.,例题,返 回,下一页,上一页,图 8-6,返 回,下一页,上一页,二、高阶偏导数 设函数z=f(x,y)在区域D内具有偏导数 那么在D内 都是x,y的函数.如果这两个函数的偏导数也存在,则称它们是函数z=f(x,y)的

8、二阶偏导数.按照对变量求导次序的 不同下列四个二阶偏导数：,返 回,下一页,上一页,二元函数z=f(x,y)在点 的偏导数有下述几何意义. 设 为曲面z=f(x,y)上的一点,过 作平面 ，截此曲面得一曲线，此曲线在平面 上的方程为 ,则导数 ，即偏导数 ,就是 这曲线在点 处的切线 对x轴的斜率(见图8-6).同样偏导数 的几何意义是曲面被平面 所截得的曲线在点 处的切线 对y轴的斜率.,返 回,下一页,上一页,其中第二、第三两个偏导数称为混合偏导数.同样可得三阶、四阶、以及n阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 定理 如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏 导数 及 在D内

9、连续，那么在该区域内 这两个二阶混合偏导数必相等.,例题,例题,返 回,上一页,第三节 全微分及其应用,习题,下一页,返 回,第三节 全微分及其应用 二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一个自变量固定时，因变量相对于该自变量的变化率. 上面两式的左端分别叫做二元函数对x和对y的偏增量，而右端分别叫做二元函数对x和对y的偏微分. 设函数z=f(x,y)在点P(x,y)的某邻域内有定义，并设 为这邻域内的任意一,下一页,上一页,返 回,点，则称这两点的函数值之差 为函数在点P对应于自变量增量x、y的全增量，记作z，即 定义 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量 (1) 可表示为,下一页,

10、上一页,返 回,其中A、B不依赖于x、y而仅与x,y有关， ，则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分，而 称为函数z=f(x,y)在点(x,y)全微分，记作dz,即 (2) 如果函数在区域D内各点处都可微分，那么称这函数在D内可微分. 下面讨论函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分的条件. 定理1(必要条件) 如果函数z=f(x,y)在点,下一页,上一页,返 回,(x,y)可微分，则该函数在点(x,y)的偏导数 必定存在，且函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微 分为 (3) 证 设函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分.于是对于点P的某个邻域内的任意点 ，(2)式总成立.特别当

11、 时(2)式也应成立，这时 ，所以(2)式成为,下一页,上一页,返 回,上式两边各除以 ，再令 而极限，就得 从而，偏导数 存在，而且等于A.同样可证 =B.所以三式成立.证毕.,下一页,上一页,返 回,定理2(充分条件) 如果z=f(x,y)的偏导数 在(x,y)连续，则函数在该点可微分. 证 因为我们只限于讨论在某一区域内有定义的函数(对于偏导数也如此)，所以假定偏导数在点P(x,y)连续，就含有偏导数在该点的某一邻域内必然存在的意思.设点 为这邻域内任意一点，考察函数的全增量,下一页,上一页,返 回,在第一个方括号内的表达式，由于y+y不变，因而可以看作是x的一元函数 的增量.于是应用拉

12、格郎日中值定理，得到 又依假设， 在点 连续，所以上式可写为,下一页,上一页,返 回,(4) 其中 为x、y的函数，且当 时， . 同理可证第二个方括号内的表达式可写为 (5) 其中 为y的函数，且当 时， . 由(4)、(5)两式可见，在偏导数连续的假定下，全增量z可以表示为,下一页,上一页,返 回,容易看出 它就是随着 即 而趋于零的. 这就证明了z=f(x,y)在点P(x,y)是可微分的.,例题,上一页,返 回,第四节 多元复合函数的求导法则,返 回,下一页,习题,第四节 多元复合函数的求导法则 定理 如果函数 及 都在点t可导，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则符

13、合函数 在t可导，切其导数可用下列公式计算： (1) 证 设t获得增量t，这时 、 的对应增量为u 、v,由此，函数z=f(u,v),下一页,上一页,返 回,相应的获得增量z.根据规定，函数z=f(u,v) 在点(u,v)具有连续偏导数，于是由第三节公式(6)有 这里，当 时， . 将上式两边各除以t，得 因为当 ，时 ， ，,下一页,上一页,返 回,，所以 这就证明符合函数 在点t可导，且其导数可用公式(1)计算.证毕. 全微分形式不变 设函数z=f(u.v)具有连续偏导数，则有全微分,下一页,上一页,返 回,如果u、v又是x、y的函数 、 且这两个函数也具有连续偏导数，则复合函数 的全微分

14、为,下一页,上一页,返 回,其中 及 发分别由公式(4)及(5)给出.把公 式(4)及(5)中的 及 带如上式，得,下一页,上一页,返 回,由此可见，无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数，它的全微分形式是一样的.这个性质叫做全微分形式不变性.,上一页,返 回,一.一个方程的情形,二.方程组的情形,第五节 隐函数的求导公式,返 回,习题,一、一个方程的情况 隐函数存在定理1 设函数 在点 的某一邻域内具有连续偏导数，且 ， ，则方程 在点 的某一邻域内恒能唯一确定一个单质来年许具有连续导数的函数 ,它满足条件 ，并有 （1）,返 回,下一页,公式推导： 将方程 所确定的函数 代入，得

15、恒等式 其左端可以看作是x的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得 由于 ，且 ，所以存在 的,返 回,下一页,上一页,一个邻域，在这个邻域内 ，于是得 如果 的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(1)的两端看作x的复合偏导数而再求一次导，即得,返 回,下一页,上一页,隐函数存在定理可以判定由方程 所确定的二元函数 的存在，以及这个函数的性质。 隐函数存在定理2 设函数 在点 的某一邻域内具有连续的偏导数，,返 回,下一页,上一页,且 ，则方程 在点 的某一邻域内恒能 唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函 数 ，它满足条件 ，并 有 (2) 将公式(2)做如下的推导，由于 将上式两端分别对x和y求导，应用复合函数求导,返 回,下一页,上一页,法则得 因为 连续，且 ，所以存在点 的一个邻域，在这个邻域内 ， 于是得,返 回,下一页,上一页,二、方程组的情况 考虑方程组 (5) 在四个变量中，一般只能有两个变量独立化， 因此方程组(5)就有可能确定两个二元函数.这 种情形下我们可以由函数F、G的性质来断定方 程