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1、为了研究事物的运动发展规律，必须建立起描写运动变化规律的函数关系。在大量的实际问题中遇到稍为复杂的一些运动过程时，反映运动规律的量与量之间的关系（或函数） 往往不能直接写出来，却比较容易建立这些变量和它们的导数（或微分）间的关系式。这种联系着自变量、未知量及其导数（或微分）的关系式，称之为微分方程，其中导数或微分是不可少的。,第六节几类简单的微分方程,微分方程往往可以看作是各种不同物理现象的数学模型。其实在自然科学和科学技术的其它领域中，例如化学、生物学、自动控制、电子技术等等，都提出了大量的微分方程问题。同样在社会科学的一些领域里也存在着微分方程问题。,在实际问题中所遇到的微分方程大都比较复
2、杂，因此研究微分方程理论及其解法就是我们面临的一个重要问题。关于这方面的知识，在第七章中我们还要作较为系统的介绍，本节只讨论几类能直接利用积分方法求解的简单微分方程及其应用。,这里我们只研究自变量仅有一个的微分方程，即常微分方程。常微分方程和数学的其它分支有密切的联系，它们往往互相联系、互相促进。例如几何学就是常微分方程理论的丰富源泉和有力工具。考虑到常微分方程与实际联系比较密切，我们应该注意它的实际背景和应用。,解,一、几个基本概念,代入上式可得，,上述两例虽然都简单，但都列出了含有未知函数导数的关系式(1)和（2）.,微分方程: 凡表示未知函数、未知函数的导数或微分与自变量之间关系的方程叫
3、微分方程.,例,都是微分方程,注: 定义中未知函数的导数(或微分)是不可少的,微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数.,常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程； 偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程.,一阶微分方程,高(n)阶微分方程形如,分类2:按微分方程的阶数来分,分类1:按微分方程中含未知函数的情形来分,分类3: 线性与非线性微分方程.,分类4: 单个微分方程与微分方程组.,不是线性方程的方程称为非线性方程。例如,微分方程的解:能使微分方程成为恒等式的函数.,微分方程的解的分类：,称为该n阶微分方程的通解。,这里，两个任意常数是独立的，是指他们不能通过运算合并成
4、一个。,把满足定解条件的解，称为该方程的一个特解.,初始条件:为确定通解中任意常数给出的条件.,初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,特解的图象: 是一条曲线，叫微分方程的积分曲线.,通解的图象: 积分曲线族.,微分方程的解的图形：,解,所求特解为,能写成形如.,解法,(1)两边积分得,二. 可分离变量的一阶微分方程,的微分方程，称为可分离变量的方程。,（2）确定的隐函数,就是（1）的解。,例1 求微分方程,解,y0时，分离变量得,两端积分,例3 设降落伞从跳伞塔下落后,所受空气阻力与速度成正比,并设降
5、落伞离开跳伞塔时 (t =0)速度为零.求降落伞下落速度与时间的函数关系.,解: 设降落伞下落速度为v(t)，降落伞在空中下落时，同时受到重力 P 与阻力R 的作用。重力大小为 mg ，方向与 v 一致；所受阻力大小为kv（k为比例系数），方向与 v 相反，从而降落伞所受外力为：,按题意，初始条件为：,根据牛顿第二定律 F = ma (其中 a 为加速度)，得函数 v( t ) 应满足的方程为：,(1),方程（1）时可分离变量的，分离变量后得：,两端积分,即：,或：,（2）,这就是方程（1）的通解。,于是所求特解为：,（3）,的微分方程，称为齐次微分方程.,解法,作变量代换,代入(3)得,可分
6、离变量的方程,三、一阶齐次微分方程,例1,求方程的通解：,解,得,（是齐次方程）,方程变为：,即：,u0时，分离变量得,积分，得,经检验知：,利用变量代换求微分方程的解,解,代入原方程,原方程的通解为,形如,方程（1）为齐次的.,方程（1）为非齐次的.,四.一阶线性微分方程,的方程叫一阶线性微分方程.,齐次方程(2)的通解为,1. 线性齐次方程,一阶线性微分方程(1)的解法,使用分离变量法：,2. 线性非齐次方程,讨论,两边积分,与齐方程通解相比可见:,因此求非齐次线性微分方程的通解常用常数变易法,即把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,作变换，令,的通解,则,积分得,一阶线性非齐次微
7、分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,解,例1,由分离变量法易得对应的齐次线性微分方程,的通解为,再用常数变易法求非齐次线性微分方程的通解。设其通解为：,则,代入原方程并化简得,从而,将它代入（*）式，得原方程的通解,例2,解,此方程是非齐次线性方程,令：,其中：,方程的通解为：,的方程，称为伯努利(Bernoulli)方程,方程为非线性微分方程，但通过变量的代换，,方程为线性微分方程.,形如,可把它化为线性的.,求出通解后，将 代入即得,代入上式得,例3,解,方程化为,令,为线性方程,通解为:,原方程通解为:,综上所述，在微分方程求解中，做变量代换是最常用的方法，具体分析，作适
8、当变量代换后，将方程化为可分离变量的方程或是化成已知求解步骤的方程，以便求其通解。,在解方程时，从积分角度来说，自变量与未知函数的地位是相同的，只要求得他们的关系式，就算原则上解决了求解问题。因此，解题时，可以改变自变量和未知函数的地位，以达到求解目的。,例4,解,即,（非齐次方程）,令,得,前面讨论了一阶微分方程的解法，下面将介绍高阶微分方程的解法。,二阶及二阶以上的微分方程叫高阶微分方程.,五、可降阶的高阶微分方程,一般说来，方程的阶数越高，求解越复杂。有些高阶微分方程，我们可通过代换，将它化成较低阶的方程求解.,对于微分方程,我们可以通过两边逐次积分把微分方程降阶，从而求得微分方程的通解
9、。,(1),方程（1）两边积分得：,两边再积分得：,如此下去，便可以得到方程(1)的通解。,1、 型的微分方程,求微分方程,的通解。,解,对上方程接连三次积分得：,例1,代入原方程, 得,解法：,特点：,关于变量x，P的一阶方程,将 两边积分可得通解.,2、 型,不显含未知函数,则,解,该方程不显含y，所以令,此时,代入原方程得：,或,两边积分得：,即,把初始条件 代入得：,所以,再积分得：,把初始条件 代入得：,于是所求的特解为：,求得其解为,原方程通解为,特点：,解法：,3、 型,例5,求微分方程,的通解。,解,该方程不明显的含自变量x，设,则,代入方程得：,在,时，约去p并分离变量得,两
10、边积分得,即,或,再分离变量并积分得,或,解,代入原方程,解线性方程, 得,两端积分,得,原方程通解为,例 6,六、微分方程应用举例,用微分方程解决实际问题的一般步骤：,（1）根据问题的实际背景，利用数学知识，建立微分方程与定解条件；,（2）根据方程的类型，用适当的方法求出方程的通解，并根据定解条件确定特解；,（3） 对所得的结果进行具体分析，解释它的实际意义，如果它与实际相差甚远，那么就应修改模型，重新求解。,上述三部中关键和难点是第一步。,例1.（放射性同位素的蜕变与考古问题）,根据原子物理学理论，放射性同位素碳-14在t时刻的蜕变速度与该时刻碳-14的含量成正比.活着的生物通过新陈代谢不
11、断地摄取碳-14，使得生物体内的碳-14与空气中的碳-14百分含量相同。生物死亡时体内碳-14的含量为x0,试求生物死亡时体内碳-14含量随时间t的变化规律。,例2.（减肥问题）,减肥的问题实际上是减少体重的问题。假定某人每天的饮食可产生A J热量，用于基本新陈代谢所消耗的能量为B J，用于锻炼所消耗的热量为C J/kg。为简单记，假定增加或减少体重所需热量全由脂肪提供，脂肪的含热量为D J/kg。求此人体重随时间的变化规律。,解 （1）建立微分方程与定解条件，设t时刻（单位：天）的体重为w(t)，根据热量平衡原理，在dt时间内，,人体热量的改变量=吸收的热量-消耗的热量,即,则得方程,设开始
12、减肥时刻t=0,体重为,于是初始条件,（2）解微分方程。由分离变量法求得通解,代入初始条件可得特解,（3）讨论,例3. 生物种群繁殖的数学模型,1.Malthus模型,1798年，Malthus认为，一种群中个体数量的增长率与该时刻种群的个体数量成正比。,设x(t)表示该种群在t时刻个体的数量。则其增长率为,或相对增长率为,其中常数r=B-D, B、D分别为出生率和死亡率。,求解方程得,注：在短时期内，这个模型与实际吻合。但当t时与实际不符合。,2. Logistic模型,1838年，Verhulst指出，导致上述不符合现实情况的主要原因是malthus模型没有考虑“密度制约因素”。并认为种群个体数目的相对增长率不应是一个常数r。应该是r乘以密度“制约因子”,于是，Verhulst提出了下述的Logistic模型,其中k称为环境的容纳量。,初始条件仍为,解这个定解问题得,
