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1、,山东金榜苑文化传媒集团,步步高大一轮复习讲义,函数的单调性与最值,函数与方程,抽象函数,复合函数,函数零点、二分法、一元二次方程根的分布,单调性：同增异减,赋值法,函数的应用,函数的 基本性质,单调性,奇偶性,周期性,对称性,最值,1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性. 2.复合函数单调性：同增异减.,1.先看定义域是否关于原点对称，再看f(-x)=f(x)还是-f(x). 2.奇函数图象关于原点对称，若x=0有意义，则f(0)=0. 3.偶函数图象关于y轴对称，反之也成立.,f (x+T)=f (x)；周期为T的奇函数有： f (T)=f (T/2)=f (0)=0.,二次函
2、数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、 线性规划、导数、利用单调性、数形结合等.,函数的概念,定义,列表法,解析法,图象法,表示,三要素,观察法、判别式法、分离常数法、 单调性法、最值法、重要不等式、 三角法、图象法、线性规划等,定义域,对应关系,值域,函数常见的 几种变换,平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换.,基本初等 函数,正(反)比例函数; 一次(二次)函数; 幂、指、对函数;,定义、图象、 性质和应用,函 数,常见函数模型,幂、指、对函数模型；分段函数；对勾函数模型,忆 一 忆 知 识 要 点,1函数的单调性,f(x1) f(x2),f(x1) f(x2),上升的,下降的,(1
3、)单调函数的定义,设函数yf(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1、x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.,1.函数单调性的定义,设函数yf(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1、x2, 当x1f(x2) , 那么就说f(x)在区间D上是增函数.,忆 一 忆 知 识 要 点,任取x1, x2D,且x1x2； 作差f(x1)-f(x2); 变形; 判号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负)； 定论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性),(1)利用单调性定义(证明函数f(x)在
4、给定的区间(先判断定义域）D上的单调性的一般步骤),2. 函数的单调性的判定方法：,忆 一 忆 知 识 要 点,k0时,函数y=f(x)与y=kf(x)+b具有相同的单调性；,若函数f(x),g(x)在给定的区间D上具有单调性,若f(x)恒为正或恒为负时,函数f(x)与1/f(x)具有相反的单调性.,若函数f(x),g(x)都是增(减)函数,则f(x)+g(x)仍是增(减)函数.,复合函数fg(x)的单调性由f(x)和g(x)的单调性共同决定(同则增异则减) .,奇函数在对称的区间上有相同的单调性,偶函数在对称的区间上有相反的单调性.,(2)常见函数的单调性规律总结,忆 一 忆 知 识 要 点
5、,以上规律还可总结为：“同增异减”.,复合函数f g(x)的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下：,复合函数单调性的判断,注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间,忆 一 忆 知 识 要 点,2. 函数的单调性的判定方法：,(3)导数法,若f(x)在某个区间内可导，当f (x)0时, f(x)为增函数；当 f (x) 0时，f(x)为减函数.,若f(x)在某个区间内可导，当f(x)在该区间上递增时，则f (x) 0；当f(x)在该区间上递减时，则f (x)0.,忆 一 忆 知 识 要 点,C,A,函数单调性的判断及应用,(1)证明函数的单调性用定义法的步
6、骤是: 取值作差变形确定符号下结论. (2)利用导数证明的一般步骤为：求导，判断导函数在区间上的符号，下结论导数法是比较常用的一种方法,求函数的单调区间,求函数的单调区间与确定单调性的方法一致 (1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间 (2)定义法:先求定义域，再利用单调性定义 (3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间 (4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间 (5)本题的易错点是忽视函数的定义域,抽象函数的单调性及最值,又x0时，f(x)0，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2) 因
7、此 f(x)在R上是减函数,方法二,02,函数的单调性与不等式,(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义应该构造出f(x2)f(x1)并与0比较大小 (2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”, 是本小题的切入点. 要构造出f(M)f(N)的形式.,解函数不等式的问题的一般步骤： 第一步：确定函数f(x)在给定区间上的单调性； 第二步：将函数不等式转化为f(M)f(N)的形式； 第三步：运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f ”，转化成一般的不等式或不等式组； 第四步：解不等式或不等式组确定解集； 第五步：反思回顾查看关键点，易错点及解题规范,1. 根据函数的单调性的定
8、义，证明(判定)函数f(x)在其区间上的单调性，其步骤是: (1)设x1, x2是该区间上的任意两个值，且x1x2(或x1x2)； (2)作差f(x1)f(x2)，然后变形； (3)判定f(x1)f(x2)的符号； (4)根据定义得出结论 2. 求函数的单调区间 首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间常用方法：根据定义，利用图象和单调函数的性质，还可以利用导数的性质 3. 复合函数的单调性 对于复合函数yf(g(x)，若tg(x)在区间(a，b)上是单调函数，且yf(t)在区间(g(a)，g(b)或者(g(b)，g(a)上是
9、单调函数，若tg(x)与yf(t)的单调性相同(同时为增或减)，则yf(g(x)为增函数；若tg(x)与yf(t)的单调性相反，则yf(g(x)为减函数简称为：同增异减,1函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示 2两函数f(x), g(x)在x(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)g(x)也为增(减)函数, 但f(x)g(x), 等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比,一、选择题,二、填空题,A组专项基础训练题组,三、解答题,三、解答题,一、选择题,二、填空题,B组专项能力提升题组,7.,解:(1)任取x
10、1, x21, 1, 且x1x2,例1. 已知定义在R上的函数y=f(x)满足, f(0)0 , 且当x0时，f(x)1,且对任意的a,bR, f(a+b)= f(a) f(b). (1)求f(0)的值； (2)判断f(x)的单调性.,一、抽象函数的单调性与最值,解: (1)令 a = b = 0, 则,任取x1, x2R，且x1 x2,(2) 令 a =x , b=-x 则,所以 f (x)0 恒成立.,由于当 x 0 时，f (x) 1,则 f(x2)=f(x2-x1)+x1,f( x1).,即 f(x2)f(x1).,f(x) 是 R 上 的增函数.,=f(x2- x1)f(x1),f(
11、x2- x1)1.,【1】若对一切实数x, y 都有 (1)求f(0)的值; (2)判定f(x)的奇数偶性.,令 x = y = 0, 则,令y = -x , 则,故 f (x)是奇函数.,解:因为对于任何实数 x, y 都有,练一练,证明: 任取 x1, x2R，且 x1 x2 ，,则 f(x2)-f(x1)= f(x2-x1)+x1-f(x1),x2-x10, f(x2- x1)1.,=f(x2- x1)-1.,f(x2)-f(x1)0， 即 f(x2)f(x1).,f(x) 是 R 上 的增函数.,【2】若函数 f(x) 对任意 a, b R 都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,
12、 并且当x0 时, 有 f(x)1. 求证: f(x) 是 R 上 的增函数.,f(x2- x1)-10.,=f(x2- x1)+f(x1) -1- f(x1),练一练,【3】已知函数 f (x) 对于任何实数 x, y 都有 f (x+y)+f(x-y)=2f (x) f (y) 且 f (0)0 求证: f (x) 是偶函数.,令 x = y = 0, 则,令 x = 0 , 则,故 f (x)是偶函数.,解：已知函数 f (x) 对于任何实数 x, y 都有 f (x+y)+f(x-y)=2f (x) f (y)，,练一练,例2.判断函数 在区间(-1,1)上的单调性.,解:设,则 f(
13、x1)f(x2),1x1x21,1+x1x20,x2x10, f(x1)f(x2)0 .,即 f(x1)f(x2) .,故此函数在(-1,1)上是减函数.,二、函数单调性的判定及证明,例3. 设 为奇函数,且定义域为R. (1)求b的值； (2)判断函数f(x)的单调性； (3)若对于任意t R, 不等式 恒成立，求实数k的取值范围,解: (1)由 f ( x ) 是奇函数, 则 f(-x )=-f (x),整理, 得,证明: (2) 任取 x1, x2 , 且x1 x2 ,则,所以函数 f(x) 在R内是减函数.,所以实数k的取值范围是,解: (3) 因为 f(x)定义域为R的奇函数,且是减函数,从而判别式,所以对任意t R, 不等式 恒成立.,从而不等式,等价于,所以实数k的取值范围是,设,所以对任意t R, 恒成立.,从而不等式,等价于,从而只须,解: (3) 因为 f(x)定义域为R的奇函数,且是减函数,【1】,C,二、高考热点聚焦,热点一：函数概念与抽象函数,证明：,-8,09年山东,
