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1、第五节极限运算法则,一 、无穷小运算法则,二、极限的四则运算法则,三、极限的复合运算法则,时, 有,一、 无穷小运算法则,定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .,证: 考虑两个无穷小的和 .,设,当,时 , 有,当,时 , 有,取,则当,因此,这说明当,时,为无穷小量 .,类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 .,设函数u在x0的某一去心邻域x|0|xx0|1内有界 即M0 使当0|xx0|1时 有|u|M,又设是当xx0时的无穷小 即0 存在20 使当0|xx0|2时 有|/M 取min1 2 则当0|xx0| 时 有 |u|u| 这说明u 也是当xx0时的无穷小,证明,定理2 有界函数
2、与无穷小的乘积是无穷小,推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小,推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小,二、 极限的四则运算运算法则,(2)lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB,推论1 如果lim f(x)存在 而c为常数 则 limcf(x)=climf(x),推论2 如果limf(x)存在 而n是正整数 则 limf(x)n=limf(x)n ,定理3 如果 lim f(x)=A lim g(x)=B 那么,(1)limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB,证: (1)因,则有,(其中,为无穷小),于是,由定理 1 可知,也是无穷小,再利用极限与无穷小
3、,的关系定理 , 知结论(1)成立 .,由定理 2 可知,和,是无穷小,再由定理 1 可知,是无穷小, 从而结论(2)成立.,数列极限的四则运算法则,定理5 如果j(x)y(x) 而limj(x)=a limy(x)=b 那么ab,不等式,定理4 设有数列xn和yn 如果,那么,求极限举例,讨论,提示,例1,解,例2,解,解,例3,解,例4,根据无穷大与无穷小的关系得,因为,讨论,提示,当Q(x0)P(x0)0时 约去分子分母的公因式(xx0) ,先用x3去除分子及分母 然后取极限,解,先用x3去除分子及分母 然后取极限,例5,解:,例6,讨论,提示,例7,解,所以,解 当x时 分子及分母的极
4、限都不存在 故关于商的极限的运算法则不能应用,例8,是无穷小与有界函数的乘积,定理6(复合函数的极限运算法则),设函数yfg(x)是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成 fg(x)在点x0的某去心邻域内有定义 若g(x)u0(xx0) f(u)A(uu0) 且在x0的某去心邻域内g(x)u0 则,例9,内容小结,1. 极限运算法则,(1) 无穷小运算法则,(2) 极限四则运算法则,(3) 复合函数极限运算法则,注意使用条件,2. 求函数极限的方法,(1) 分式函数极限求法,时, 用代入法,( 分母不为 0 ),时, 对,型 , 约去公因子,时 , 分子分母同除最高次幂,(2) 复合函数极限求法,设中间变量,作业：p-49 习题1-5 1 （5），（7），（9），（12），（14） 2 （1），（3） 3 （1）,
