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1、二、交错级数及其审敛法,三、绝对收敛与条件收敛,第二节,一、正项级数及其审敛法,常数项级数的审敛法,第十一章,一、正项级数及其审敛法,这种级数非常重要, 以后会看到许多级数的敛散性判定问题都可归结为正项级数的审敛性问题.,2. 正项级数收敛的充要条件: 对于正项级数,即, 正项级数的部分和数列 sn 为单调增加数列.,种级数为正项级数.,由于un0, 则其部分和数列 sn 满足:,定理1: 正项级数收敛的充分必要条件是其部分和数列 sn 有界.,即, 部分和数列 sn 有界.,3. 比较审敛法,证明: (1) 设,由于un vn (n=1, 2, ).,则,(2) 由于 sn(n), 且un
2、vn (n=1, 2, ).,则n sn (n),即n 不是有界数列,证毕.,定理2：,即 sn 有界, 则 p-级数收敛.,重要参考级数: 等比级数, p - 级数, 调和级数.,证明: 因为,比较审敛法是一基本方法, 虽然有用, 但应用起来却有许多不便. 因为它需要建立定理所要求的不等式,而这种不等式常常不易建立, 为此介绍在应用上更为方便的极限形式的比较审敛法.,比较审敛法的极限形式:,则: (1) 当 0 l + 时, 二级数有相同的敛散性;,证明(1): 由,定理3：,由比较审敛法的推论, 得证.,当nN时, 有,即,证明(2): 由,对于=1, N0,当nN时,有,即0 un vn
3、,类似(2)的证明有: 0 vn un,注:,例3: 判定下列级数的敛散性:,极限审敛法是以p-级数为比较级数的审敛法.,解(2): 由于,比值审敛法(达朗贝尔DAlembert判别法):,证明: 当为有限数时, 对 0, N0, 当nN时,有,即,定理4：,当1时, 取 1 , 使得 r = + 1,uN+2r uN+1, uN+3r uN+2 r 2uN+1, , uN+m r m1uN+1, ,故原级数收敛.,当 1时, 取 1,当nN时,故数列 un 严格单调增加的,所以有,故原级数发散.,当=1时, 比值审敛法失效:,限值都有 =1, 但前者发散后者收敛.,un+1 run un,需
4、要特别注意的是: 后项比前项的极限必须存在或为, 否则无法判定.,比值审敛法的优点: 不必寻找参考级数, 直接从级数本身的构成即通项(后项比前项的极限)来判定其敛散性.,例4: 判别下列级数的收敛性:,(2),解: (1)由于,(3) 由于,比值审敛法失效, 改用比较审敛法.,因为,还可以用极限审敛法.,解: 由于,由比值审敛法得: 当 xe 时, 级数收敛;,当 xe 时, 级数发散; 当 x=e 时, 检比法失效.,即后项大于前项, 即un+1 un, 故级数发散.,由于,根值审敛法 (柯西判别法),证明: 当为有限数时, 对 0, N0, 当nN时,有,即,当 1时, 取 1 , 使得
5、r = + 1,则,即,定理5：,当 1时, 取 1,则,即,故,当 =1时, 不能判定.,解: 由于,解: 由于,二、交错级数及其审敛法,定义: 正, 负项相间的级数称为交错级数.,莱布尼茨定理（定理6）: 如果交错级数满足条件:,(i) un un+1 ( n=1, 2, ); (ii),则级数收敛, 且其和s u1, 其余项 rn的绝对值| rn| un+1.,证明: 因为 un-1 un 0,所以部分和,是单调增加的,又,所以数列 s2n 是有界的,则有,又因为,所以,所以交错级数收敛于和s, 且s u1.,仍满足收敛的两个条件, 所以,定理证毕.,余项,解:,所以原级数收敛.,例10
6、: 判定级数,的敛散性.,因为 un un+1 (n 2),又因为,三、绝对收敛与条件收敛,定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数, 也称为一般项级数.,显然, 0vn|un|,又因为,这个定理的逆命题不成立:,任意项级数,正项级数,该定理的作用:,解: 由于,将正项级数的检比法和检根法应用于判定任意项级数的敛散性可得到如下定理:,例如,也可能发散.,(,从而,有,),发散的原因是通项不趋向于0.,解: 由于,例13. 证明下列级数绝对收敛 :,证: (1),而,收敛 ,收敛,因此,绝对收敛 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) 令,因此,收敛,绝对收敛.,机动 目录 上页
7、下页 返回 结束,内容小结,1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2. 利用正项级数审敛法,必要条件,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,部分和极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz判别法:,则交错级数,收敛,概念:,绝对收敛,条件收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习：1.判断级数 是绝对收敛，条件收敛还是发散？ 2.若 存在，判断级数 收敛性,3.,反之是否成立?,思考题,思考题解答,反之不成立. 例如:,反之是否成立?,因为,则由比较审敛法的极限形式得证.,四、小结,作业 P206 1 (1), (3); 2 (2), (3); 3 (1), (2) ; 4 (1), (3), (5) ; 5 (2), (3), (5),第三节 目录 上页 下页 返回 结束,
