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1、.,教学目的： 1.一维正态分布. 2二维正态分布,教学内容： 第三章， 4.1 4.3 。,第十五讲 正态分布,.,一、一维 正态分布,若X 的 d.f. 为,则称 X 服从参数为 , 2 的正态分布,记作 X N ( , 2 ),为常数，,正态分布,亦称高斯 (Gauss)分布,.,N (-3 , 1.2 ),.,f (x) 的性质：,图形关于直线 x = 对称, 即,在 x = 时, f (x) 取得最大值,在 x = 时, 曲线 y = f (x) 在对应的 点处有拐点,曲线 y = f (x) 以 x 轴为渐近线,曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状,f ( + x) = f (
2、 - x),性质,.,.,f ( x) 的两个参数：, 位置参数,即固定 , 对于不同的 , 对应的 f (x) 的形状不变化，只是位置不同, 形状参数,固定 ，对于不同的 ，f ( x) 的形状不同.,若 1 2 则,比x= 2 所对应的拐点更靠近直线 x=,附近值的概率更大. x = 1 所对应的拐点,前者取 ,.,Showfn1,fn3,.,正态变量的条件,若 r.v. X, 受众多相互独立的随机因素影响, 每一因素的影响都是微小的, 且这些正、负影响可以叠加,则称 X 为正态 r.v.,.,可用正态变量描述的实例极多：,各种测量的误差； 人体的生理特征；,工厂产品的尺寸； 农作物的收获
3、量；,海洋波浪的高度； 金属线抗拉强度；,热噪声电流强度； 学生的考试成绩；,.,一种重要的正态分布,是偶函数，分布函数记为,标准正态,其值有专门的表供查., 标准正态分布N (0,1),密度函数,.,.,-x,x,.,对一般的正态分布 ：X N ( , 2),其分布函数,作变量代换,.,例1 设 X N(1,4) , 求 P (0 X 1.6),解,例5,.,求 P ( X 0 ).,解一,例6,.,解二 图解法,0.2,由图,求 P ( X 0 ).,.,例4 3 原理,设 X N ( , 2), 求,解,一次试验中, X 落入区间( - 3 , +3 ) 的概率为 0.9974, 而超出
4、此区间可能性很小,由3 原理知，,当,3 原理,.,标准正态分布的上 分位数 z,设 X N (0,1) , 0 1, 称满足,的点 z 为X 的上 分位数,z,常用 数据,.,例5 设测量的误差 X N(7.5,100)(单位:米) 问要进行多少次独立测量，才能使至 少有一次误差的绝对值不超过10米的 概率大于0.9 ?,解,例7,.,设 A 表示进行 n 次独立测量至少有一次 误差的绝对值不超过10米,故至少要进行 4 次独立测量才能满足 要求.,.,二、一维 正态分布的数字特征,X N ( , 2 ), 求 E ( X ) D( X ),.,例如 设 X N ( ,2) , Y = a
5、X +b, 则,Y N ( a +b, a22 ),特别地 ，若 X N ( , 2) ,则,二、一维 正态随机变量函数的分布,一维正态r.v.的线性函数还服从正态分布,.,例6 已知 X 服从正态分布, E(X ) = 1.7, D(X ) = 3, Y =1 2 X , 求Y 的密度函数.,解,例7,若X 服从正态分布，,它的密度函数 完全由期望和方差决定.,.,例7 已知 X N (0,1) , Y = X 2 , 求 f Y (y),解一 从分布函数出发,y,当 y 0 时，FY (y) = 0,当 y 0 时，,例5,.,故,.,例8 设X N (0,1), Y N (0,1), X
6、 ,Y 相互独 立，求E (max(X ,Y ) .,解,D1,D2,例5,.,其中 称为 概率积分,.,一般地，若,X ,Y 相互独立，则,所以,.,设由自动线加工的某种零件的内径 X (mm) N ( ,1).已知销售每个零件的利润 T (元)与销售零件的内径 X 有如下的关系：,问平均直径 为何值时, 销售一个零件的 平均利润最大？,应用,应用4,.,解,.,即,可以验证，,零件的平均利润最大.,.,若r.v.( X ,Y ) 的联合为,则称( X ,Y ) 服从参数为1,12,2,22, 的 正态分布, 记作( X ,Y ) N(1,12;2,22; ),其中1,20, -1 1 .,
7、二维正态分布,.,Clearf,x,y fx_,y_:=Exp-(x2+y2)/2/(2Pi) Plot3Dfx,y,x,-3,3,y,-3,3,ViewPoint-2.869, 1.790, 0.110, AspectRatio-0.6,PlotPoints-30;,.,二维正态分布图,.,.,二维正态分布剖面图,.,例9 设 ( X ,Y ) N ( 1,12;2,22 ; ), 求XY,解,例2,.,.,正态分布的边缘分布仍为正态分布,.,对任何 x,y 有,取,.,故,X ,Y 不相关,.,例10 设 ( X ,Y ) N ( 1,4; 1,4; 0.5 ), Z = X + Y , 求 XZ,解,例4,.,例11 设 (X ,Y ) N (0,1;0,1;0), 求,的数学期望.,解,例3,.,例12 已知X ,Y 相互独立, 且都服从 N (0,0.5), 求 E( | X Y | ).,解,故,.,令,B 为正定矩阵,再令 则二维正态联合d.f.为,推广,.,正态随机变量的结论,若X ,Y 相互独立,则,若(X ,Y ),则,则,推广,.,作业P137习题四,1（2）（3） 4（1）（3）；4，5，9，11,
