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1、第5讲 n维空间中的点集,目的：掌握n维空间中集合的内点、边界点、 聚点、开集、闭集等概念，熟练理解 Bolzano-Weirstrass 定理、 Borel 有限 覆盖定理，能运用这些定理解决一些 问题。 重点与难点：Bolzano-Weirstrass定理、 Borel有限覆盖定理。,第5讲 n维空间中的点集,一聚点、内点、边界点与Bolzano- Weirstrass定理 问题1：给定Rn中一个集合E及点P，P与 E有几种可能的关系？,第5讲 n维空间中的点集,定义1 设 ， （i）若存在 ，使 ，则称 为 的内点。 （ii）若对任意 ， 则称 为 的边界点。 （iii）若对任意 ， 中
2、总有 中除 外的 点，即 ,则称 为 聚点。,第5讲 n维空间中的点集,不难看到，如果对任意 ， ， 则 中一定含 中无穷多个点。 定义2 若 ，则 的聚点全体记作 ，称为 的导集， 称为 的闭包，记为 。 定理1 的充要条件是 为 的一个极限点， 即存在一串互异的 ，使得 。,第5讲 n维空间中的点集,证明：充分性由聚点的定义不难得到。为证必要性，令 ，由于 ，故 ， 取 中可能有相同者，为避免这种情况发生，不妨取 ，则存在 ，使,第5讲 n维空间中的点集,，再取 ， 假如已取到 个互不相同的点 ， 且 ，则取 ， 显然,第5讲 n维空间中的点集,但 ，于是可取 从而 互不相同。由归纳法知可
3、找到一串互异的点 满足 。 证毕。,第5讲 n维空间中的点集,定理2 若 ，则 。 定理3 若 ， 则,第5讲 n维空间中的点集,定理3的证明： 由于 ，由定理2立得 。现设 ，则对任意 ， ， 从而 含 或 中点，由定理1，知存在一串互异的点 ，使,第5讲 n维空间中的点集,中必有无穷多个都属于 或都 属于 ，不妨设 ，则由 ，知 。如果有无穷多个在 中，则将会有 ，总之 。 从而 。 综上 。证毕。,第5讲 n维空间中的点集,*定理4 （波尔察诺-外尔斯特拉斯（Bolzano- Weierstrass）定理）若 是 中一 个有界的无穷集合，则 至少有一个 聚点 ，即 。,第5讲 n维空间中
4、的点集,Bolzano- Weirstrass定理的证明： 为简单计，只就 的情形证之，一般情形可类似证明，只需将正方形换成 维立方体便可。因为 有界，故有常数 ，使 ，用坐标轴将 分为四个小正方形，每个小正方形边长显然为 ，由 是无穷的，显然四个小正方形中，至少有一个闭正方形含 中无穷多个点，记此小正方形为 ，再次用平行于坐标轴的直线将 分为四个,第5讲 n维空间中的点集,小正方形，则每个小正方形的边长 ，同理，其中至少有一个小闭正方形含中无穷多个点，记此小 闭正方形为 。依此方式进行下去，可得一串小闭正方形 ， 的边长为 ，且含 中无穷多个点。此外还有 ，于是由闭矩形套定理知 含唯一的点，
5、记此点为 。则因对任意 ， 是无穷集，任取 ，则 ，取 ，使,，则 ，取 ，则 ，假设已取了 个互异的点 ， ，则取 使 显然 ，又取,第5讲 n维空间中的点集,第5讲 n维空间中的点集,则 是 个互异点，且 ，这说明 是 的极限点，从而 。证毕。 与聚点相对的概念是孤立点，集合 的边界点若不是 的聚点，则称为 的孤立点。当然， 的孤立点一定在 中。如果 的每一点都是孤立点，则 称 为孤立集合。,第5讲 n维空间中的点集,二开集与闭集 问题3：回忆直线上的开区间与闭区间，它们 有何异同？,第5讲 n维空间中的点集,定义3 若集合 的每一个点都它的内点，则 称 为开集。 定义4 若 ，则称 为闭
6、集。 按上述定义易得 定理5 ， 恒为闭集。,第5讲 n维空间中的点集,证明：假设 ，则对 的任意邻域 ， ， 任取 ，则由 知 对 的任意邻域 ，,第5讲 n维空间中的点集,不妨设 ， 则 ，且 。 任取 ，则 。这说明， 的 任意邻域中均含 中除 外的点，从而 ，即 ，所以,第5讲 n维空间中的点集,故而 是闭集。证毕。,第5讲 n维空间中的点集,开集与闭集的关系： 定理6 假设 ，则 是闭集当且仅 当 是开集。 推论1 若 是开集， 是闭集，则 是开集， 是闭集。,第5讲 n维空间中的点集,开集、闭集的性质： 定理7 任意一簇闭集之交为闭集；任 意有限个闭集之并仍为闭集。,第5讲 n维空
7、间中的点集,证明：不妨设 为闭集，因 ，故 ，从而 ，所以 是闭集。 下设 为闭集，则 ， 因此 为闭集。证毕。,第5讲 n维空间中的点集,定理8 任意一簇开集之并为开集，任 意有限个开集之交仍为开集。 证明：设 为开集，则 ， 由定理 6，每个 是闭集，再由定理7知 是闭集，从而 是开集。,第5讲 n维空间中的点集,又设 为开集，则 ， 为有限个闭集的并，从而为闭集，所以 为 开集。证毕。,第5讲 n维空间中的点集,应该注意到，任意多个开集之交未必是开集，任意多个闭集之并也未必是闭集，例如 前者为可数个开集之交，后者为可数个闭集之并。,三Borel有限覆盖定理 问题4：回忆数学分析中的有限覆
8、盖定理及 其证明，该证明对Rn中的有界闭集 是否也适用？,第5讲 n维空间中的点集,第5讲 n维空间中的点集,定理9（Borel有限覆盖定理）设F是有界闭集， 是一簇开集， F，则一定存在F中有限个开集 ，使得 F。 证明：首先证明，一定存在 ，使得对任意 ， 包含在某个 中。假若不然，则对任意则对任意 ，存在 ，,使得 不包含任何属于 的开集中。从而可得F中一串点列 满足 （任意 ）。由于F是有界集，故有收敛子列 ，设 ，则因F闭，故 ，而由 覆盖F知存在某个 ，使 ，于是由 是开集知存,第5讲 n维空间中的点集,第5讲 n维空间中的点集,在 ，使 。注意到 因此当 充分大时，必有 。 这与 的取法矛盾，所以一定有 ，使得对任意 ， 包含在某个 中。,由F是有界的，可以用形如 的超平面将F分成有限多块，使每一小块中任 意两点的距离都小于 ，不妨记这些小块为 F1，F2，Fm，任取 Fi ，则存在 ， 使得 ，注意到 Fi ，故有 。证毕。,第5讲 n维空间中的点集,
