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1、第7章 耦合电感与变压器,7. 1 互感和互感电压,7. 2 耦合电感电路的分析,7. 3 空芯变压器电路分析,7. 4 理想变压器和全耦合变压器,7. 5 变压器的电路模型,7. 1 互感和互感电压,一、 互感和互感电压,当线圈1中通入电流i1时，在线圈1中产生磁通(magnetic flux)，同时，有部分磁通穿过临近线圈2。,线圈1的自感系数 (self-inductance coefficient),线圈1对线圈2的互感系数，单位：H (mutual inductance coefficient),当线圈周围无铁磁物质(空心线圈)时，有,u11：自感电压； u21：互感电压。 ：磁链
2、(magnetic linkage),当i1与u11关联取向；u21与磁通符合右手螺旋法则时，根据电磁感应定律和楞次定律：,当线圈1中通入电流i1时，在线圈1中产生磁通(magnetic flux)，同时，有部分磁通穿过临近线圈2。当i1为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈2两端产生感应电压。,当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压：,互感的性质,可以证明，M12=M21=M,互感系数 M 只与两个线圈的几何尺寸、匝数 、 相互位置 和周围的介质磁导率有关。,耦合系数 (coupling coefficient)k：,k 表示两个线圈磁耦合的紧密程度。,全
3、耦合（perfect coupling）： K=1 紧耦合 K1 无耦合（孤立电感） K=0,可以证明， 0 k1,互感小于两元件自感的几何平均值。,二、互感线圈的同名端,具有互感的线圈两端的电压包含自感电压和互感电压。表达式的符号与参考方向和线圈绕向有关。,对自感电压：,当u11, i 1关联取向,当u11, i1 非关联取向,对互感电压，因产生该电压的的电流在另一线圈上，因此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。这在电路分析中显得很不方便。,引入同名端可以解决这个问题。,同名端：当两个电流分别从两个线圈的对应端子流入 ，其所产生的磁场相互加强时，则这两个对应端子称为同名端，否则为异名端
4、。,*,*,同名端表明了线圈的相互绕法关系。,同名端的另一种定义：,当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，则 另一线圈中互感电压的高电位端为其相应的同名端。,*,*,例.,同名端的实验测定：,*,*,电压表正偏。,如图电路，当开关S突然闭合时，i增加，,当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线组，要确定其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。,当S突然闭合时： 电压表若正偏，则1、2为同名端 电压表若反偏，则1、2为同名端,三、由同名端及u,i参考方向确定互感线圈的特性方程,互感电压的正负号判定规则：,当电流的流入端与该电流引起的互感电压的参考正极端为同名端时，互感电压取正号，反之，取负号
5、。,时域形式：,在正弦交流电路中，其相量形式的方程为,注：上图中将互感电压用受控电压源表示后，L1 与L2就不再具有耦合关系。,注意：,有三个线圈，相互两两之间都有磁耦合，每对耦合线圈的同名端必须用不同的符号来标记。 A、B为同名端，B、C为同名端，但A、C不一定是同名端。,(1) 一个线圈可以不只和一个线圈有磁耦合关系；,(2) 互感电压的符号有两重含义：同名端；参考方向,互感现象的利与弊：,利用变压器：信号、功率传递,避免干扰,克服：合理布置线圈相互位置减少互感作用。,7. 2 耦合电感电路的分析,一、互感线圈的串联,1. 顺串,2. 反串,* 顺接一次，反接一次，就可以测出互感：,互感的
6、测量方法：,1. 同名端在同侧,i = i1 +i2,解得u, i的关系：,二、互感线圈的并联,2. 异名端在同侧,三、含耦合电感电路的一般分析,例：如上，列写网孔方程,可见，此法麻烦！,四、互感去耦法,1. 同名端相连,2. 异名端相连,例：利用互感去耦法求ab端等效电感Leq,例：利用互感去耦法重解前面例题。,列网孔方程：,解之：,例：求ab间等效电感Leq=?。 已知M=4mH,7. 3 空芯变压器电路分析,一、回路分析法,二、反映阻抗（reflected impedance）,其中： Z11=R1+j L1 初级回路的自阻抗 Z22=R2+ZL+j L2 次级回路的自阻抗,次级在初级回
7、路中的反映阻抗， 或称为引入阻抗。,这说明了次级回路对初级回路的影响可以用反映（引入）阻抗来考虑。从物理意义讲，虽然初级、次级没有电的联系，但由于互感作用使闭合的次级回路产生电流，反过来这个电流又影响初级回路电流和电压。,关于反映阻抗： 次级在初级中的反映阻抗： 与同名端无关。 当Z22为容性 Zref1为感性。 当Z22为感性 Zref1为容性 。 当Z22为电阻 Zref1为电阻 。,4. 同理，初级在次级中的反映阻抗：,次级等效之一：,另： 也可以利用戴文南等效作次级等效。,次级等效之二：,解：,法一：回路电流分析法（略）,法二：利用初级、次级等效电路。,解： 法一：反映阻抗法,法二：互
8、感去耦法,例3.（不讲）,支路法、回路法：方程较易列写，因为互感电压可以直接计入KVL方程中。,分析：,节点法：方程列写较繁，因为与有互感支路所连接的节点电压可能是几个支路电流的多元函数，不能以节点电压简单地写出有互感的支路点流的表达式。,关键：正确考虑互感电压作用，要注意表达式中的正负号，不要漏项。,此题可先作出去耦等效电路，再列方程(一对一对地消):,7. 4 理想变压器和全耦合变压器,1. 理想变压器的伏安关系,一、. 理想变压器 (ideal transformer)：,理想变压器也是一种耦合元件，符号与耦合电感相似，但理想变压器的唯一参数是变比（匝比）n,注：如前表达式是在i1,i2
9、以及u1,u2的参考方向对同名端一致 时得到的。,i1, i2对同名端一致即： i1,i2的流入端为同名端。 u1, u2对同名端一致即： u1,u2的参考正极端为同名端。,若i1,i2以及u1,u2的参考方向对同名端不一致，则前表达 式中符号取反。,对同名端一致，取“”,对同名端一致，取“”,对同名端不一致，取“”,对同名端不一致，取“”,2. 理想变压器的功率性质：,理想变压器的特性方程为代数关系，因此无记忆作用。,由此可以看出，理想变压器既不储能，也不耗能，在电路中只起传递信号和能量的作用。,例:,解：,3. 理想变压器的阻抗变换性质：,阻抗变换一：,利用伏安关系证明(a),(b)等效：
10、,对(a)有：,例：求端口输入电阻Ri,端口输入电阻 : Ri=u1/ i1=10 ,阻抗变换之二：,例：,注：应注意变换次序及变换前后阻抗与线圈的串、并联关系。,应用：,例：电力传输中高压送电减小线路上热损耗,若直接低压传输，传输线上电流较大，r0上热损耗很大，且用户端不能获得正常的220V额定电压。,实际中采用变压器实现高压传输，传输线路上电流非常小，热损耗很小。,例:,已知电源内阻RS=1k，负载电阻RL=10。为使RL上获得最大功率，求理想变压器的变比n。,当 n2RL=RS时匹配，即,10n2=1000, n2=100， n=10 .,例:,方法1：网孔分析法,解得,方法2：阻抗变换
11、,方法3：戴维南等效,初级等效,求R0：,R0=1021=100,戴维南等效电路：,次级等效,例： （不讲）,理想变压器次级有两个线圈，变比分别为5:1和6:1。,求初级等效电阻R。,解：,(根据),4. 理想变压器的实现,空芯变压器： 较小，K很小,铁芯变压器： 较大，K1,参数: n 不耗能; 不储能.,两边积分得：,忽略积分常数，即两线圈中直流成分，只考时变部分有：,此即为理想变压器。,实际变压器，当其K接近1，L1 、L2很大，或在精度要求不高的情况下可当作理想变压器处理。,二、全耦合变压器 (K=1),由此得全耦合变压器的等效电路图：,解： 法一：反映阻抗法,法二：互感去耦法（略）,
12、法三：利用全耦合变压器的等效电路,7. 5 变压器的电路模型,实际变压器是有损耗的，也不可能全耦合，即 L1，L2 , k 1。除了用具有互感的电路来分析计算以外，还常用含有理想变压器的电路模形来表示。,一、理想变压器(全耦合，无损，m= 线性变压器),二、全耦合变压器(k=1，无损 ，m， 线性),与理想变压器不同之处是要考虑自感L1 、L2和互感M。,全耦合变压器的等值电路图,L1：激磁电感 (magnetizing inductance ),三、无损非全耦合变压器(忽略损耗，k1，m， 线性),在线性情况下，有,全耦合部分,由此得无损非全耦合变压器的电路模型：,L1S, L2S：漏电感
13、(leakage inductance),四、考虑导线电阻(铜损)和铁心损耗的非全耦合变压器(k1，m， 线性),上面考虑的实际变压器认为是线性的情况下讨论的。实际上铁心变压器由于铁磁材料 BH特性的非线性, 初级和次级都是非线性元件，本来不能利用线性电路的方法来分析计算，但漏磁通是通过空气闭合的，所以漏感LS1，LS2 基本上是线性的，但磁化电感LM(L10)仍是非线性的，但是其值很大，并联在电路上起的影响很小，只取很小的电流，电机学中常用这种等值电路。,小结：,变压器的原理本质上都是互感作用，实际上有习惯处理方法。,空心变压器：电路参数 L1、L2、M, 储能。,理想变压器：电路参数n, 不耗能、不储能，变压、变流、变阻抗，等值电路为：,注意：理想变压器不要与全耦合变压器混为一谈。,铁心变压器：电路参数 L1, L2, n, M , R1, R2 .,
