动力学动量定理和动量矩定理课件

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1、1,第四部分 动力学,2,动力学,目 录,第14章 动量定理和动量矩定理 第15章 动能定理 第16章 机械振动基础,3,动力学,一.研究对象：,二.力学模型：,研究物体的机械运动与作用力之间的关系。,2.质点系：由有限或无限个有着一定 联系的质点组成的系统。,1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。,刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离不变的质点组成。又称为不变质点系。,引 言,4,动力学,自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。 非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。 质点系是力学中最普遍的抽象化的模型；包括刚体、弹性体、流体。,三.动力学分类:,质点

2、动力学 质点系动力学,质点动力学是质点系动力学的基础。,四.动力学的基本问题：大体上可分为两类： 第一类：已知物体的运动情况，求作用力； 第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。,综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。 已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。,5,第14章 动量定理和动量矩定理,动力学,6,动力学,目 录,14.1 质点动力学的基本方程 14.2 动量定理 14.3 动量矩定理,7,质点是物体最简单、最基本的模型，是构成复杂物体系统的基础。质点动力学的基础是三个基本定律。质点动力学基本方程给出了质点受力与其运动变化之间的关系。 一、质点动力学的基本定律 第

3、一定律(惯性定律)：不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。第一定律明确指出了物体运动状态发生变化的原因。 第二定律(力与加速度之间的关系的定律)：质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。,14.1 质点动力学的基本方程,动力学,8,设作用在质点上的力为F，质点的质量为m，质点获得的加速度为a，则牛顿第二定律可以用矢量方程表示为,动力学,第二定律建立了质点的质量、 作用于质点的力和质点运动加速度 三者之间的关系，并由此可直接导 出质点的运动微分方程，它是解决 动力学问题最根本的依据。 牛顿第二定律指出了质点加速度方向总是与其所受合力的方向相同，但质

4、点的速度方向不一定与合力的方向相同。因此，合力的方向不一定就是质点运动的方向。,9,动力学,第三定律(作用与反作用定律)：两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等、方向相反、沿着同一直线，且同时分别作用在两个物体上。 第三定律说明了力的产生是由于两个物体相互作用而引起的，它不仅适用于静止(平衡)状态的物体，而且同样适用于运动状态的物体。,10,动力学,将动力学基本方程表示为微分形式的方程，称为质点的 运动微分方程。,1.矢量形式,2.直角坐标形式,二、质点的运动的微分方程,11,动力学,3.自然形式,质点运动微分方程除以上三种基本形式外，还可有极坐标形式、柱坐标等形式。 应用质点运动微分方程，

5、可以求解质点动力学的两类问题。,12,动力学,质点动力学两类问题： 第一类问题：已知质点的运动，求作用在质点上的力(微分问题)。解题步骤和要点：, 正确选择研究对象 一般选择联系已知量和待求量的质点。 正确进行受力分析,画出受力图 应在一般位置上进行分析。 正确进行运动分析 分析质点运动的特征量 。 选择并列出适当形式的质点运动微分方程 建立坐标系 。 求解未知量。,13,动力学,例1 桥式起重机跑车吊挂一重为G的重物，沿水平横梁作匀速运动，速度为 ，重物中心至悬挂点距离为L。突然刹车，重物因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。,解： 选重物(抽象为质点)为研究对象； 受力分析如图所示

6、；, 运动分析，沿以O为圆心，L为半径的圆弧摆动。,14,动力学, 列出自然形式的质点运动微方程, 求解未知量,注 减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。 拉力Tmax由两部分组成, 一部分等于物体重量,称为静拉力 一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。,15,例2 已知质量为m的质点M在坐标平面 内运动，如图所示。其运动方程为 ，其中 是常数。求作用于质点上的力F。 解：将质点运动方程消去时间t，得,动力学,可见，质点的运动轨迹是以 为半轴的椭圆。对运动方程求二阶导数，得加速度,16,动力学,即 将上式代入公式中，得力在直角坐标轴上的投影 即 可见，F和点M的位置

7、矢径r方向相反，F始终指向中心，其大小与r的大小成正比，称之为向心力。,17,动力学,第二类问题：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题）。 已知的作用力可能是常力，也可能是变力。变力可能是时间、位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。,解题步骤如下： 正确选择研究对象。 正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力 （应放在一般位置上进行分析，对变力建立力的表达式）。 正确进行运动分析。(除应分析质点的运动特征外，还要确 定出其运动初始条件）。,18,动力学,选择并列出适当的质点运动微分方程。,如力是常量或是时间及速度函数时， 可直接分离变量 。,求解未知量。应根据力的函数形式决

8、定如何积分，并利用 运动的初始条件，求出质点的运动。,如力是位置的函数，需进行变量置换,19,例1 质量为m的质点沿水平x轴运动，加于质点上的水平为 ，其中 均是常数，初始时 。求质点运动规律。 解 研究质点在水平方向受力作用。建立质点运动微分方程,建立质点运动微分方程 即,分离变量，对等式两边积分，并以初始条件 代入，有,动力学,20,积分后得 因 ，分离变量，再次积分，并以初始条件 代入，有 积分后得,动力学,21,动力学,列直角坐标形式的质点运动微分方程并对其积分运算,微分方程 积分一次 再积分一次,解：选择填充材料M为研究对象，受力如图所示， M作斜抛运动。,例2 煤矿用填充机进行填充

9、, 为保证充填材料抛到距离为S=5米，H=1.5米的顶板A处。求 (1)充填材料需有多大的初速度v0 ? (2)初速 与水平的夹角a0？,22,动力学,代入最高点A处值，得： 即 将到达A点时的时间t，x=S ，y=H 代入运动方程，得,发射初速度大小与初发射角 为,23,动力学,例3 发射火箭，求脱离地球引力的最小速度。,解： 取火箭(质点)为研究对象, 建立坐标如图示。火箭在任意位置x 处受地球引力F 的作用。,则在任意位置时的速度,即：,24,动力学,可见，v 随着 x 的增加而减小。若则在某一位置x=R+H 时速度将减小到零，火箭回落。若时，无论 x多大（甚至为）, 火箭也不会回落。因

10、此脱离地球引力而一去不返 时（ ）的最小初速度,（第二宇宙速度）,25,动力学,实际上的问题是： 1、联立求解微分方程(尤其是积分问题)非常困难。 2、大量的问题中，不需要了解每一个质点的运 动，仅需要 研究质点系整体的运动情况。,对质点动力学问题：建立质点运动微分方程求解。 对质点系动力学问题：理论上讲，n个质点列出3n个微分方程， 联立求解它们即可。,从本章起，将要讲述解答动力学问题的其它方法， 而首先要讨论的是动力学普遍定理（包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此推导出来的其它一些定理）。,14.2 动量定理,26,动力学,它们以简明的数学形式，表明两种量 一种是同运动特征相关的量(动

11、量、动量矩、动能等)，一种是同力相关的量(冲量、力 矩、功等) 之间的关系，从不同侧面对物体的机械运动进行深入的研究。在一定条件下，用这些定理来解答动力学问题非常方便简捷 。,1、动量 （1）质点的动量：质点的质量与速度的乘积mv 称为质点的动量。 是瞬时矢量，方向与v 相同。单位是kgm/s。 动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。 例如：枪弹：速度大，质量小；船：速度小，质量大。,一、质点系的动量定理,27,（2）质点系的动量：质点系中所有各质点的动量的矢量和。,动力学,质点系的质量与其质心速度的乘积就等于质点系的动量。则：,（3）刚体系统的动量：设第i个刚体则整个系统：,28,解：

12、曲柄OA： 滑块B： 连杆AB： （P为速度瞬心）,动力学,例 曲柄连杆机构的曲柄OA以匀 转动，设OA=AB=l ，曲柄OA及连杆AB都是匀质杆，质量各为m ， 滑块B的质量也为m。求当 = 45时系统的动量。,29,动力学,系统的动量为,30,2）力是变矢量：（包括大小和方向的变化） 元冲量： 冲量：,1）力是常矢量：,动力学,2冲量 力与其作用时间的乘积称为力的冲量，冲量表示力在其作用时间内对物体作用的累积效应的度量。例如，推动车子时，较大的力作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得到同样的总效应。,31,动力学,3）合力的冲量：等于各分力冲量的矢量和,32,3质点的动量定理,质点

13、的动量对时间的导数等于作用于质点的力,（在某一时间间隔内，动量的增量等于力在该时间内的冲量）,动力学,质点的动量定理, 微分形式：,（动量的微分等于力的元冲量）, 积分形式：,33, 投影形式：, 质点的动量守恒 若，则常矢量，质点作惯性运动 若，则常量，质点沿 x 轴的运动是惯性运动,4质点系的动量定理,质点系的动量定理,动力学,对整个质点系：,对质点系内任一质点 i，,34,质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力的 矢量和。,质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力元冲量的 矢量和。,动力学,35,动力学, 质点系的动量守恒 若则常矢量。 若则常量。,只有外力才能改变质点系的动

14、量，内力不能改变整个质点系的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。,36,动力学,例2 设作用在活塞上的合力为F，按规律 变化，其中为活塞的质量为 ， 。已知 ，活塞的速度 m/s，方向沿水平向右。试求 s时活塞的速度。 解 以活塞为研究对象。已知作用在活塞上的合力F随时间的变化规律及 ，欲求 ，故采用积分形式的动量定理。取坐标轴Ox向右为正，根据公式，有,在给定条件下，,(a),(b),37,动力学,将式(b)及 代入式(a)，得,解得 m/s,例3 有一质量 kg的邮包从传送带上以速度 m/s 沿斜面落入一邮车内，如图所示。 已知邮车的质量 kg，原处 于静止，不计车与地面间的摩擦， 求

15、邮包落入车内后车的速度 。,38,动力学,解 将邮包及邮车分别视为两质点，组成一质点系。因作用于质点系上的外力在 轴上投影的代数和等于零，即 ，故质点系的动量在 轴上的投影应保持不变，即,解得 m/s,39,动力学,例4 如图所示物块 ，重量各 为(W1W2)，挂在绳子两端，绳子绕在重量为W的均质滑轮上，设 下降时其加速度为 。求支座对滑轮的约束反力。 解 两物块和滑轮组成一质点系。 作用于质点系上的外力有重力 和支座对滑轮的约 束反力 。设M1下降时，其速 度为 ，应用质点系的动量定 理微分形式，在坐标轴 上有：,40,其中质点系的动量及作用于质点系上的外力分别为 代入上式得 解得,动力学,41,例5 质量为M的大三角形柱体， 放于光滑水平面上， 斜面上另放一质量为m的小三角形柱体，求小三角形柱体滑到底时，大三角形柱体的位移。,动力学,解：,选两物体组成的系统为研究对象。,受力分析，,由水平方向动量守恒及初始静止；