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1、第七章,多元生命函数,本章结构,多元生命函数简介 连生状况 最后生存状况 生命模型 人寿保险与生存年金 在特殊死亡律假定下求值,本章中英文单词对照,多元生命函数 连生状态 最后生存状态 共同震动 继承年金,Multiple life function Joint-life status Last-survivor status Common shock Reversionary annuities,第一节,多重生命函数简介,多重生命函数的定义及作用,多元生命函数的定义：涉及多个生命剩余寿命的函数。 作用 养老金给付场合 合伙人联保场合 遗产税计算场合,多元剩余寿命的联合分布,联合密度函数 联合
2、分布函数,多元剩余寿命的联合分布,边际生存函数,第二节,多元生命状况,连生状况,连生状况定义： 当所有成员都活着时的状况，称为连生状况。当有一个成员死亡时，连生状况就结束了。简记连生状况为： 连生状况剩余寿命等于： 连生状况剩余寿命的性质：求连生状况的剩余寿命实质上就是m个生命的最小次序统计量,两个体连生状况的生命函数,分布函数 生存函数,两个体连生状况的生命函数,密度函数 死亡效力函数,两个体连生状况的生命函数,两独立个体至少有一个在第K年死亡的概率 连生状况整值剩余寿命为k的概率,两个体连生状态的生命函数,剩余寿命期望,最后生存状况,最后生存状况定义： 只要有一个成员活着时的状况，称为最后
3、生存状况。只有当所有成员都死亡时，最后生命状况才算结束。简记为： 最后生存状况的剩余寿命等于： 最后生存状况的剩余寿命的性质：最后生存状况的剩余寿命实际上就是m个生命的剩余寿命的最大次序统计量,多元生存状况剩余寿命的关系,两个体最后生存状况的生命函数,分布函数 等价公式,两个体最后生存状况的生命函数,生存函数 等价公式,两个体最后生存状况的生命函数,密度函数 等价公式,两个体最后生存状况的生命函数,死亡效力函数,两个体最后生存状况的生命函数,最后生存状况整值剩余寿命为k的概率 等价公式,两个体最后生存状态的生命函数,剩余寿命期望,例1：,假定（60）和（65）服从Moivre 生存模型， 计算
4、,例1答案,例1答案,例2,假定： 不抽烟的人的死亡力是同年龄抽烟的人的死亡力的一半。 不抽烟的人数满足如下方程 有一对夫妻丈夫（65）不抽烟，妻子（55）抽烟，求他们还能共同生活的期望时间。,例2答案,联合生命状况剩余寿命协方差分析,第三节,联合生命模型,简介,联合生命模型分为两类： Common Skhoc 模型：它假定个体之间的剩余寿命随机变量相互独立的模型。这种模型假定有时与现实情况不符，但易于分析。 Copulas模型：它假定个体之间的剩余寿命随机变量不独立的模型。这种模型假定更符合实际情况，但不易于分析。,Common Shock 模型,如果有 满足 且有一个Common Shoc
5、k 随机变量Z，它独立于 ,且服从指数生存函数 令 则,联合生命状况分析,记 边际生存函数为 连生状况剩余寿命生存函数为 最后生存状况剩余寿命生存函数为,第四节,人寿保险与生存年金,寿险趸缴纯保费的确定原理,联合生命状况下寿险趸缴保费的确定,连生状况 最后生存状况,联合生命状况下生存年金的确定,原理 连生状况 最后生存状况,连生状况和最后死亡状况的关系,例3,例1续，假定 计算,例3答案（1）,例3答案（2）,单重次顺位函数, 在n年之内，(x) 先于(y)死亡,单重次顺位函数, 在n年之内， (y) 后于(x)死亡,顺位保险,例4,例1续 求,例5,假定有一(20)岁女性，一(50)岁男性
6、已知 求两者中第一个死亡者的期望寿命,例5答案,例4答案（1）,例4答案（2）,继承年金(reversionary annuities),继承年金的定义：在联合生命状态中，只有在其中一个生命（v）死亡之后，另一个生命（u）才能开始获得年金。这种年金叫做继承年金，简记为 。 终身继承年金 定期继承年金,第五节,特殊死亡律假定下求值,Gomperz假定下,目的：寻找能替代连生状态的单个生命状态w，即 已知在Gomperz假定下有 ，则在两生命独立假定下有 由这个等式可求出w，于是,Makeham假定下,由于Makeham假定的死亡效力函数含有常数项，所以无法用单个生命状态替换连生状态，但是可以考虑
7、用两个同年龄的连生状态（w，w）作替换，即 已知在Makeham假定下有 ，则在两生命独立假定下有 由这个等式可求出，于是,例6,假定生命表服从Makeham分布 且多元生命状态20:30可以被W:W代替。 假定多元生命状态10:W可以被Z:Z代替 求Z.,例6答案,均匀分布假定,在均匀分布假定下，趸缴纯保费和生存年金具有单生命状态下近似的性质,补充案例1,假定有一20岁的女性和一50岁的男性。已知 求第一个死亡的期望年龄。,补充案例2,求（10）和（20）都能活到他们目前年龄的两倍且至少有一个能活到他目前年龄的3倍的概率。,补充案例3,求（25）和（45）死亡间隔在10年内的概率。,补充案例4,确定该年金产品的现时值 （X）和（Y）都存活时给付1 （X）死亡后降到1/3 （Y）死亡后降到1/4 已知,
