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1、,第十一章,山东交通学院高等数学教研室,第三节 幂级数,一、函数项级数的概念,二、幂级数及其收敛性,三、幂级数的运算,一、 函数项级数的概念,设,为定义在区间 I 上的函数项级数 .,对,若常数项级数,敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域 ;,若常数项级数,为定义在区间 I 上的函数,收敛,发散 ,所有,为其收,为其发散点,发散点的全体称为其发散域 .,称,为级数的和函数 ,若用,余项,表示函数项级数前 n 项的和,在收敛域上,称它,则在收敛域上：,函数项级数的和是 x 的函数,即,二、幂级数及其收敛性,形如,的函数项级数称为幂级数,其中数列,下面着重讨论,如幂级数,称为幂级数的系数 .,即是此
2、种情形.,的情形,即,收敛,发散,定理 1 ( Abel定理 ),若幂级数,则对满足不等式,的一切 x 幂级数都绝对收敛.,反之, 若当,的一切 x , 该幂级数也发散 .,时该幂级数发散 ,则对满足不等式,证明:,收敛,则必有,于是存在,常数 M 0, 使,设,当 时,收敛,故原幂级数绝对收敛 .,也收敛,若幂级数,发散 ,用反证法可以证明,满足不等式,的 x ,原幂级数发散 .,推论:,如果幂级数,不是仅在 x = 0 一点收敛，,也不是在整个数轴上都收敛，,则必有一个确定的,使得,正数 R 存在,当 时,幂级数绝对收敛.,当 时,幂级数发散.,当 时,幂级数可能收敛也可能发散.,绝 对
3、收 敛,叫做幂级数的收敛半径.,(R , R ) 称为收敛区间.,再由端点的收敛性可得收敛域.,注:,如果仅在 x = 0 一点收敛,如果在整个数轴上都收敛,定理2,的系数满足,证明:,(1) 若 0,则根据比值审敛法可知:,当,原级数绝对收敛;,即,时,(1) 当 0 时,(2) 当 0 时,(3) 当 +时,则,考察级数,若,(2) 若,则根据比值审敛法可知,绝对收敛 ,(3) 若,则对除 x = 0 以外的一切 x 原级数发散,对任意 x 原级数,因此,的收敛半径为,注:,因此级数的收敛半径,当,原级数发散.,即,时,因此,x =1时,的收敛半径及收敛域.,解:,x = 1时,收敛;,级
4、数为,发散 .,故收敛域为,例1 求幂 级数,级数为交错级数,例2 求下列幂级数的收敛域 :,解:,所以收敛域为,(2),所以级数仅在 x = 0 处收敛 .,规定: 0 ! = 1,(1),例3,的收敛半径 .,解:,比值审敛法求收敛半径.,时,时,故收敛半径为,故直接由,级数收敛,级数发散,级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,例4,的收敛域.,解:,级数变为,当 t = 2 时,此级数发散;,当 t = 2 时,此级数收敛;,故原级数的,即,因此级数 的收敛域为,收敛域为,级数为,级数为,令,三、幂级数的运算,定理3,及,的收敛半径分别为,令,则有 :,其中,以上结论可用部分和的极限证明
5、 .,设幂级数,其中,可以由下面的方程顺序地求出：,注:,两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比,原来两个幂级数的收敛半径小得多.,且收敛半径保持不变.,定理4,的和函数,在收敛域上连续,在收敛区间内可逐项求导，,在收敛域内可逐项求积分,注:,幂级数,区间端点处的收敛性积分或求导后可能会改变.,解:,例5,则,的和函数 .,设,又,得,由例2可知级数的收敛域为,例6,解:,x1 时级数发散,求幂级数 的和函数,容易求出幂级数的收敛半径为 1 ,得收敛域为,例7 求级数,的和函数,解:,收敛 ,x = 1 时级数发散,于是,逐项求导得,易求出幂级数的收敛半径为 1 ,而 x = 0 时级数收敛
6、于1,且,即,即,注:,S(0)也可由和函数的连续性得到.,内容小结,1 求幂级数收敛域的方法,(1) 对标准型幂级数,先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 .,(2) 对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式),求幂级数收敛半径时，直接用比值法或根值法,也可通过换元化为标准型再求 .,(2) 在收敛区间内幂级数的和函数连续;,(3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导或逐项积分.,3 求和函数的常用方法, 利用幂级数的性质,2 幂级数的性质,(1) 两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与,乘法运算.,阿贝尔(1802 1829),挪威数学家, 近代数学发展的先驱者.,他在22岁时就解决了用根式解5 次方程,的不可能性问题 ,他还研究了更广的一,并称之为阿贝尔群.,在级数研究中, 他得,到了一些判敛准则及幂级数求和定理.,论的奠基人之一,他的一系列工作为椭圆函数研究开,拓了道路.,数学家们工作150年.,类代数方程,他是椭圆函数,C. 埃尔米特曾说: 阿贝尔留下的思想可供,后人发现这是一类交换群,
