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1、,二、 函数的间断点,一、 函数连续性的定义,第八节,函数的连续性与间断点,第一章,可见 , 函数,在点,一、 函数连续性的定义,定义:,在,的某邻域内有定义 ,则称函数,(1),在点,即,(2) 极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在 ;,且,有定义 ,存在 ;,连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,间断的连续函数的图形是一条连续而不曲线.,例如,例1,证,由定义2知,单侧连续,定理,例,解,右连续但不左连续 ,对自变量的增量,有函数的增量,左连续,右连续,当,时, 有,函数,在点,连续有下列等价命题:,例. 证明函
2、数,在,内连续 .,证:,即,这说明,在,内连续 .,同样可证: 函数,在,内连续 .,在,在,二、 函数的间断点,(1) 函数,(2) 函数,不存在;,(3) 函数,存在 ,但,不连续 :,设,在点,的某去心邻域内有定义 ,则下列情形,这样的点,之一, 函数 f (x) 在点,虽有定义 , 但,虽有定义 , 且,称为间断点 .,在,无定义 ;,1.跳跃间断点,例,解,2.可去间断点,例,解,注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.,如上例中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点,3.第二类间断点,例6,解,例,解,注意 不要以为函数的间断点只是个别
3、的几个点.,狄利克雷函数,在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.,仅在x=0处连续, 其余各点处处间断.,在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续.,判断下列间断点类型:,例,解,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在 ,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在 ,称,若其中有一个为振荡,称,若其中有一个为,为可去间断点 .,为跳跃间断点 .,为无穷间断点 .,为振荡间断点 .,可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,为其无穷间断点 .,为其振荡间断点 .,为可去间断点 .,例如:,显然,为其可去间断点 .,(4),(5),为其跳跃间断点 .,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,思考与练习,1. 讨论函数,x = 2 是第二类无穷间断点 .,间断点的类型.,2. 设,时,提示:,为,连续函数.,答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,备用题 确定函数,间断点的类型.,解: 间断点,为无穷间断点;,故,为跳跃间断点.,思考题,思考题解答,且,但反之不成立.,例,但,
