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1、第3章 连续时间信号的变换域分析,3.1 周期信号的频谱分析傅里叶级数 3.2 典型周期信号的频谱 3.3 非周期信号的频谱分析傅里叶变换 3.4 典型非周期信号的频谱 3.5 傅里叶变换的基本性质 3.6 周期信号的傅里叶变换 3.7 拉普拉斯变换 3.8 拉普拉斯变换的基本性质 3.9 拉普拉斯逆变换 3.10 连续信号的频域与复频域的MATLAB分析,1,第3章 傅里叶变换分析,从本章起，我们由时域分析进入变换域分析，即傅里叶变换（频域）分析和拉普拉斯变换（复频域）分析。在频域分析中，首先讨论周期信号的傅里叶级数，然后讨论非周期信号的傅里叶变换及其性质，还要介绍周期信号的傅里叶变换。傅里
2、叶变换是在傅里叶级数的基础上发展而产生的，这方面的问题统称为傅里叶分析。在复频域分析中，首先介绍从傅里叶变换推广到拉普拉斯变换的概念，进而引出拉普拉斯变换的定义，然后介绍拉普拉斯变换的性质及拉普拉斯逆变换。,2,3.1 周期信号的频谱分析傅里叶级数,任何周期函数在满足狄里赫利的条件下，可以展开成正交函数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或复指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是 “傅里叶级数”。前者称为三角形式的傅里叶级数，后者称为指数形式的傅里叶级数，它们是傅里叶级数两种不同的表示形式。,3,3.1.1 三角形式的傅里叶级数,（1）,设周期信号为 , 其重复周期是T1,角频率,
3、直流分量：,余弦分量的幅度：,正弦分量的幅度：,以上各式中的积分限一般取： 或,4,3.1.1 三角形式的傅里叶级数,其中,5,3.1.2 指数形式的傅里叶级数,（3）,为 的偶函数， 为 的奇函数,6,3.1.3 周期信号的频谱及其特点,1. 周期信号的频谱,为了能既方便又明确地表示一个信号中含有哪些频率分量，各频率分量所占的比重怎样，就可以画出频谱图来直观地表示。,如果以频率为横轴，以幅度或相位为纵轴，绘出 及 等的变化关系，便可直观地看出各频率分量的相对大小和相位情况，这样的图就称为三角形式表示的信号的幅度频谱和相位频谱。,7,3.1.3 周期信号的频谱及其特点,例3-1 求题图所示的周
4、期矩形信号的三角形式与指数形式的傅里叶级数，并画出各自的频谱图。,解：一个周期内 的表达式为：,8,3.1.3 周期信号的频谱及其特点,因此,或,9,3.1.3 周期信号的频谱及其特点,10,11,3.1.3 周期信号的频谱及其特点,2. 周期信号频谱的特点,（1）离散性 - 频谱是离散的而不是连续的，这种频谱 称为离散频谱。,（2）谐波性 - 谱线出现在基波频率 的整数倍上。,（3）收敛性 - 幅度谱的谱线幅度随着 而逐渐 衰减到零。,12,3.1.4 波形的对称性与谐波特性的关系,（1）偶函数,所以，在偶函数的傅里叶级数中只含有（直流）和余弦分量。,已知信号 展为傅里叶级数的时候，如果 是
5、实函数而且它的波形满足某种对称性，则在傅里叶级数中有些项将不出现，留下的各项系数的表示式也将变得比较简单。波形的对称性有两类，一类是对整周期对称；另一类是对半周期对称。,13,3.1.4 波形的对称性与谐波特性的关系,（2）奇函数,所以，在奇函数的傅里叶级数中只包含正弦分量。,14,3.1.4 波形的对称性与谐波特性的关系,（3）奇谐函数,例如,15,3.1.4 波形的对称性与谐波特性的关系,可见，在奇谐函数的傅里叶级数中，只会含有奇次谐波分量。,16,3.1.4 波形的对称性与谐波特性的关系,在偶谐函数的傅里叶级数中，只会含有（直流）与偶次谐波分量。,（4）偶谐函数,例3.1-2：,为偶谐函
6、数，且去掉直流分量1/2后为奇函数，所以 的傅里叶级数中包含直流分量和偶次谐波的正弦分量。,17,3.1.5 吉伯斯（Gibbs）现象,8.95%E,n=1,n=3,n=5,n=3:,n=5:,n=1:,18,3.1.5 吉伯斯（Gibbs）现象,8.95%E,n=1,n=3,n=5,从左图可以看出： 傅里叶级数所取项数越多，相加后的波形越逼近原信号。 当信号是脉冲信号时，其高频分量主要影响脉冲的跳变沿，而低频分量主要影响脉冲的幅度。,从上图还可以看出如下现象：选取傅里叶有限级数的项数越多，在所合成的波形中出现的峰值越靠近 的不连续点。但无论n取的多大（只要不是无限大），该峰值均趋于一个常数，
7、它大约等于跳变值的 8.95， 并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。这种现象称为吉伯斯现象。,19,3.2 典型周期信号的频谱,3.2.1 周期矩形脉冲信号,(1) 周期矩形脉冲信号的傅里叶级数,20,3.2.1 周期矩形脉冲信号,所以，三角形式傅里叶级数为,所以，指数形式的傅里叶级数为,因为,21,3.2.1 周期矩形脉冲信号,（2）频谱图,22,3.2.1 周期矩形脉冲信号,若,则,因此，第一个零值点之内或两个相邻的零值点之间有3根谱线。,结论：矩形脉冲的频带宽度与脉冲宽度成反比。,23,3.2.1 周期矩形脉冲信号,(3) 频谱结构与波形参数之间的关系,1. 若 不变， 扩大一
8、倍，即,24,3.2.1 周期矩形脉冲信号,2. 若 不变， 减小一半，即,谱线间隔 只与周期 有关，且与 成反比；零值点频率 只与 有关，且与 成反比；而谱线幅度与 和 都有关系，且与 成反比与 成正比。,25,3.2.2 周期锯齿脉冲信号,周期锯齿脉冲信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以1/n的规律收敛。,26,3.2.3 周期三角脉冲信号,周期三角脉冲的频谱只包含直流、奇次谐波的余弦分量，谐波的幅度以 的规律收敛。,27,3.2.4 周期半波余弦信号,周期半波余弦信号的频谱只含有直流、基波和偶次谐波的余弦分量。谐波幅度以 的规律收敛。,28,3.2.5 周期全波余弦信号,周期全波余弦信
9、号的频谱包含直流分量及 的各次谐波分量。谐波的幅度以 的规律收敛。,29,3.3 非周期信号的频谱分析傅里叶变换,由于,30,3.3.1 傅里叶变换及傅里叶逆变换,频谱密度函数,则,- 非周期信号f(t) 的傅里叶变换,- 傅里叶逆变换,31,3.3.2 傅里叶变换的物理意义频谱和频谱密度函数,从上式可以看出，具有单位频带复振幅的量纲，因此这个新的量称为原函数的频谱密度函数，简称频谱函数。,- 幅度谱,- 相位谱,32,3.3.2 傅里叶变换的物理意义频谱和频谱密度函数,周期信号：,傅里叶逆变换：,傅里叶变换：,- 连续谱、相对幅度,- 离散谱、实际幅度,与 的关系：,33,3.4 典型非周期
10、信号的频谱,1. 对称矩形脉冲信号,周期矩形脉冲信号：,之间满足如下关系：,34,1.对称矩形脉冲信号,35,2.单边指数信号,36,3.双边指数信号,37,4.符号函数,38,4.符号函数,39,5.冲激函数和冲激偶函数,单位冲激函数的频谱等于常数，也就是说，在整个频率范围内频谱是均匀的。这种频谱常常被叫做“均匀谱”或“白色频谱”。,(1）冲激函数的傅里叶变换,40,5.冲激函数和冲激偶函数,(2）冲激函数的傅里叶逆变换,或,41,5.冲激函数和冲激偶函数,或：,42,5.冲激函数和冲激偶函数,（3）冲激偶的傅里叶变换,即：,上式两边对t 求导得：,43,6.阶跃信号,44,3.5 傅里叶变
11、换的基本性质,1. 线性,2. 对称性,设,其中,45,2.对称性,如：,又如：,46,2.对称性,两种特定关系：,1. 若f(t)是实函数，或虚函数 f(t)= j g(t)，则 是偶函数,是奇函数。,2. 若f(t)是 t 的 实偶函数，则 必为 的实偶函数,即,若f(t)是 t 的实奇函数，则 必为 的虚奇函数， 即,47,3.对偶性,48,3.对偶性,又如：,49,3.对偶性,例：求,所以,这样,50,3.对偶性,利用傅里叶变换的对偶性，可以将求傅里叶逆变换的问题转化为求傅里叶变换来进行。,即,51,3.对偶性,解：,例3.5-1：求,52,3.对偶性,例3.5-2 已知信号的傅里叶变
12、换为,试求其逆变换 。,解：,53,4.位移性,位移性包括时移性和频移性。,（1）时移特性,同理,例3.5-3 求图3.5-3(a)所示的单边矩形脉冲信号的频谱函数。,解：,因为对称矩形脉冲信号 的傅里叶变换为,54,4.位移性,幅度谱保持不变，相位谱产生附加相移,55,4.位移性,（2）频移特性（调制定理),同理,因为 ，,所以,56,4.位移性,例3.5-4 求 , 及 的频谱。,57,4.位移性,例3.5-5 求矩形脉冲调幅信号的频谱，已知 f(t)=G(t) cos0t ，其中G(t)为矩形脉冲，脉幅为E, 脉宽为。,58,5.尺度变换,信号在时域中压缩等效在频域中扩展；反之，信号在时
13、域中扩展等效在频域中压缩。,59,5.尺度变换,特例：,综合时移特性与尺度变换特性，还可以证明以下两式,60,6.卷积定理,卷积定理包括时域卷积定理和频域卷积定理。,（1）时域卷积定理,若 ， ，则,（2）频域卷积定理,若 ， ，则,其中,61,6.卷积定理,例3.5-6 已知两矩形脉冲信号分别为,求 的傅里叶变换,解：,根据时域卷积定理，可求出,62,6.卷积定理,例3.5-7 利用频域卷积定理求余弦 脉冲信号f(t)的频谱函数。,解：我们把f(t)看作是矩形脉冲G(t)与无穷长余弦函数的乘积。,63,6.卷积定理,根据频域卷积定理，可以得到 的频谱函数为,64,6.卷积定理,时域相乘,频域
14、卷积,65,7.微分与积分,微分与积分特性包括时域微分与积分特性和频域微分与积分特性。,例如：由于 , 所以,66,7.微分与积分,（2）时域积分,67,7.微分与积分,当f(t)的导数 的频谱比较容易求出时，可以 利用积分特性来求原函数的频谱，但需要对式（1）进行修正。,（3）,式中， ，,68,7.微分与积分,1. 当 时，有,(4),2. 当 时，有,(5),（3）,69,7.微分与积分,例：利用积分特性分别求 及 的傅里叶变换。,解：由于,即,又因为,所以，,即,70,7.微分与积分,例3.5-8 求下图所示的三角脉冲信号的傅里叶变换。,对上式两边取傅里叶变换：,71,7.微分与积分,
15、由于 ，所以可以利用的二阶导数的频谱来求其原函数的频谱。于是,72,7.微分与积分,例3.5-9 求下图所示信号f(t)的傅里叶变换。,解 ：,73,7.微分与积分,74,7.微分与积分,（3）频域微分,例：,75,7.微分与积分,（3）频域积分,若 ，则,76,3.6 周期信号的傅里叶变换,1正弦、余弦信号的傅里叶变换,在例3.5-4中，已经求出了指数信号、正弦和余弦信号的傅里叶变换。即,77,3.6 周期信号的傅里叶变换,以上三种信号的频谱图如下所示,2一般周期信号的傅里叶变换,设周期信号的周期为 ，则角频率 ，可以将 展开成指数形式的傅里叶级数,其中,或,78,3.6 周期信号的傅里叶变换,将上式两边取傅里叶变换,即：,周期信号 的傅里叶变换是由一系列冲激函数所组成，这些冲激位于信号的谐频 处，每个冲激的强度等于 的傅里叶级数相应系数Fn的 倍。,79,3.6 周期信号的傅里叶变换,例3.6-1 求周期单位冲激序列 的傅里叶级数与傅里叶 变换。,解：,80,3.6 周期信号的傅里叶变换,例3.6-2 求周期矩形脉冲
