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1、在空间或平面中, 同一点在不同坐标系下的坐标 不相同, 从而图形方程也不相同.,如在平面上, 圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线) 只在直角坐标系中的方程才是标准方程:,在其他坐标系下方程可能会很复杂. 在第二章中 的椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛 物面和马鞍面等也是在直角坐标系中讨论的.,第三章 二次曲线的分类,在一般的仿射坐标系中二次方程的图像是否也 属于这 14 类曲面之一? 还有没有其他可能? 于是 产生了下面的两个问题:,(1) 对于给定的图形, 怎样选择坐标系, 使得它 的方程最简单?,(2) 在不同的坐标系中, 图形的方程之间有什 么关系?,第三章 二次曲线的分类,1.1 过
2、渡矩阵、向量和点的坐标变换公式,1.2 图形的坐标变换公式,1.3 过渡矩阵的性质,1.4 代数曲面和代数曲线,1.5 直角坐标变换的过渡矩阵、正交矩阵,1 仿射坐标变换一般理论,本节讨论坐标变换的一般规律, 给出点、向量 和图形的坐标变换公式.,设空间中有两个仿射坐标系I: O; e1, e2, e3 和 I : O; e1, e2, e3. 一个点或一个向量在 I 和 I 中有不同的坐标 (x, y, z) 和 (x,y, z), 它们有什么 关系? 一个图形在 I 和 I中有 不同的方程, 它们 怎样互相转化?,1 仿射坐标变换一般理论, 向量的坐标变换公式,设向量 在 I 和 I 中的
3、坐标分别为(x, y, z) 和 (x,y, z), 设e1, e2, e3 在 I 中的坐标分别为 (c11, c21, c31), (c12, c22, c32), (c13, c23, c33), 即,根据坐标定义 ,1.1, 1.2 坐标变换公式, = xe1 + ye2 + ze3,= x(c11e1 + c21e2 + c31e3) + y(c12e1 + c22e2 + c32e3) + z(c13e1 + c23e2 + c33e3),= (c11x + c12y + c13z) e1 + (c21x + c22y + c23z) e2 + (c31 x + c32y+ c33
4、z) e3,说明 在 I 中的坐标为,(3.1),1.1, 1.2 坐标变换公式,写成矩阵形式,(3.1a),称(3.1)和(3.1a)为向量的坐标变换公式, (3.1a)中 的矩阵,称为从坐标系 I 到 I 的过渡矩阵, 是以e1, e2, e3 在 I 中坐标为各个列向量的三阶矩阵.,1.1, 1.2 坐标变换公式, 点的坐标变换公式,1.1, 1.2 坐标变换公式,(3.2a),称(3.2a)为点的坐标变换公式的矩阵形式, 其一般 形式为,(3.2),1.1, 1.2 坐标变换公式, 曲面的坐标变换公式,设 S 是一张曲面, 它在 I 中的一般方程为,F (x, y, z) = 0,求它
5、在 I 中的一般方程.,对于点 M, 如果它在 I 中的坐标为 (x, y, z), 则它在 I 中的坐标为,(c11x+ c12y+ c13z+d1, c21x+ c22y+ c23z+d2, c31x+ c32y+ c33z+d3 ),1.1, 1.2 坐标变换公式,因此 M S ,F (c11x+ c12y+ c13z+d1, c21x+ c22y+ c23z+d2, c31x+ c32y+ c33z+d3) = 0.,记上式左边函数为 G(x, y, z) , 则G(x, y, z) = 0 是 S 在 I 中的一般方程, 称它为由 S 在 I 中的方 程 F(x, y, z) = 0
6、 经过坐标变换转化为 S 在 I 中的 方程.,1.1, 1.2 坐标变换公式, 曲线的坐标变换公式,由于曲线可以看作两张曲面的交线, 它在 I 中 的一般方程为两个三元方程式的联立方程组, 将 这两个方程都用坐标变换化为 I 中的方程, 联立 即得它在 I 中的一般方程.,1.1, 1.2 坐标变换公式,例 3.1 设从坐标系 I 到 I 的过渡矩阵为,O 在 I 中的坐标为 (1, 2, 0) .,(1) 设平面 在 I 中的一般方程为,3x + 2y z + 2 = 0,求 在 I 中的一般方程.,1.1, 1.2 坐标变换公式,(2) 设直线 l 在 I 中的标准方程为,求 l 在 I
7、 中的方程.,解:,由已知, 向量的坐标变换公式为,(3.3),1.1, 1.2 坐标变换公式,点的坐标变换公式为,(3.4),(1) 将 (3.4) 代入平面的一般方程, 得,3(2x + y + 1) + 2(y z 2) (x + z) + 2 = 0,整理得 在 I 中的一般方程为,5x + 5y 3z + 1 = 0 .,1.1, 1.2 坐标变换公式,(2) 方法1: 求 l 在 I 中的一般方程.,容易求得 l 在 I 中的一般方程为,将点的坐标变换公式 (3.4) 分别代入得两平面在 I 中的一般方程, 化简并联立得 l 在 I 中的一般 方程为,1.1, 1.2 坐标变换公式
8、,方法2: 求 l 在 I 中的标准方程.,记M 是 I 中坐标为 (1, 0, 2) 的点, 是 I 中坐标 为 (3, 2, 1) 的向量, 则 l 过点M, 平行于向量 .,以 x = 1, y = 0, z = 2 代入(3.4), 得到关于 M 在 I 中坐标的方程组,分别求出 M 和 在 I 中的坐标 即可得到 l 在 I 中的标准方程.,1.1, 1.2 坐标变换公式,同理可得 在 I 中坐标的方程组,由于两方程组系数矩阵相同, 用矩阵消元法解:,1.1, 1.2 坐标变换公式,于是 M 和 在 I 中的坐标分别为 (4, 8, 6) 和 (4, 5, 3) , 从而得 l 在
9、I 中的标准方程为,1.1, 1.2 坐标变换公式,1.3 过渡矩阵的性质,命题: 过渡矩阵是可逆矩阵.,证明:,因为 I 中坐标向量 e1, e2, e3 不共面, 因此过渡矩阵 C 的行列式 |C| 0.,命题 3.1 设有三个仿射坐标系 I, I, I, I 到 I 的过渡矩阵为C, I 到 I 的过渡矩阵为D, 则 I 到 I 的过渡矩阵为CD.,证明:,记,则 I 的坐标向量 ei 在 I 中的坐标为 (d1i, d2i, d3i),于是 I 到 I的过渡矩阵为,根据公式(3.1a), ei在 I 中的坐标为,1.3 过渡矩阵的性质,推论 若 I 到 I 的过渡矩阵为 C, 则 I
10、到 I 的过渡 矩阵为 C 1.,例 3.2 已知仿射坐标系 I 的三个坐标平面在仿 射坐标系 I 中的一般方程为,yOz面: 3x + 2y 2z + 1 = 0, xOz面: 2x + y z 2 = 0, xOy面: x 2y + z + 2 = 0,并且 I 的原点 O 在 I 中的坐标为 (1, 4, 2) , 求 I 到 I 的坐标变换公式.,1.3 过渡矩阵的性质,解:,方法一. 已知 I 的原点 O 在 I 中的坐标, 可先求 I 到 I 的坐标变换公式.,设 I 到 I 的过渡矩阵为,1.3 过渡矩阵的性质,则 I 到 I 的坐标变换公式为,于是yOz平面, 即 x = 0
11、在 I 中的方程为,d11x + d12y + d13z + 1 = 0.,已知yOz面在 I 中的方程: 3x + 2y 2z + 1 = 0,比较系数得: d11 = 3, d12 = 2, d13 = 2;,1.3 过渡矩阵的性质,类似可得: d21 = 4, d22 = 2, d23 = 2, d31 = 1, d32 = 2, d33 = 1.,从而,于是 I 到 I 的坐标变换公式为,1.3 过渡矩阵的性质,即,于是,1.3 过渡矩阵的性质,从而 I 到 I 的坐标变换公式为,1.3 过渡矩阵的性质,方法二. 直接求 I 到 I 的坐标变换公式.,解方程组 可求得,I 的原点O 在
12、 I 中的坐标为 (5, 15, 23),由条件易求得x 轴, y 轴, z 轴的方向可分别取为,(1, 3, 5), (2, 5, 8), (0, 1, 1),下面确定 I 的三个坐标向量在 I 中的坐标.,1.3 过渡矩阵的性质,k (1, 3, 5), m (2, 5, 8), n (0, 1, 1), k, m, n 0.,设 e1 , e2 , e3 在 I 中的坐标分别为:,则 I 到 I 的坐标变换公式应为,将 I 的原点 O 在 I, I 中的坐标 代入上式得,1.3 过渡矩阵的性质,解得 k = 1, m = 0.5, n = 1 ,因此 I 到 I 的坐标变换公式为,1.3
13、 过渡矩阵的性质,例 3.3 设 (a1, b1, c1) 与 (a2, b2, c2) 不成比例, 证明 在任意仿射坐标系 I 中, 形如,f (a1x + b1y + c1z, a2x + b2y + c2z) = 0,的方程的图像 S 是柱面.,分析: 若 S 在坐标系中 I 的方程为 f (x, y) = 0, 则 S 为柱面, 于是问题转化为: 找到适当的坐标 变换使得 S 在新坐标系I中的方程为f (x, y) = 0.,1.3 过渡矩阵的性质,证明:,由于 (a1, b1, c1) 与 (a2, b2, c2) 不成比例, 因此存在 a3, b3, c3 , 使得,是可逆矩阵.,
14、设,1.3 过渡矩阵的性质,作仿射坐标系 I: O; e1, e2, e3, 使得 e1, e2, e3 在 I 中的坐标依次是 C 1 的三个列向量.,于是I 中方程为 f (x, y) = 0 的柱面在 I 中的方程为,f (a1x + b1y + c1z, a2x + b2y + c2z) = 0.,因此它就是 S .,则 I 到 I 的过渡矩阵为 C 1, 从而 I 到 I 的过渡矩阵为C, 注意到 I 与 I 有相同的原点, 因此I 到 I 的 坐标变换公式为,1.3 过渡矩阵的性质,注:,平面坐标变换中过渡矩阵为二阶矩阵.,点的坐标变换公式为,(3.2b),向量的坐标变换公式为,(
15、3.1b),1.3 过渡矩阵的性质,1.4 代数曲面和代数曲线,定义: 如果 F (x, y, z) 是 x, y, z 的一个多项式, 则称方程 F (x, y, z) = 0 的图像为代数曲面, 把 F (x, y, z) 的次数称为这 个代数曲面的次数.,注:,次数的概念并不是纯几何的, 代数曲面 的次数与方程有关.,例如方程 x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz = 0,与 x + y + z = 0,次数不同, 但表示同一平面., 代数曲面,(2) 代数曲面及其次数与坐标系的选择无关.,如果一张代数曲面在坐标系 I 中的方程为 F (x, y, z) = 0
16、, 当从坐标系 I 到坐标系 I 作坐标变换 时, 多项式 F (x, y, z) 变为函数 G(x, y, z) , 则 G(x, y, z) 也是多项式, 且次数不会超过 F (x, y, z) ; 反过来从 I 到 I 的坐标变换又把 G(x, y, z) 变为函数 F (x, y, z), 从而 F (x, y, z) 的次数 又不会超过 G(x, y, z), 于是 F (x, y, z) 与 G(x, y, z) 是同次多项式.,1.4 代数曲面和代数曲线,问题: 空间中一个二次曲面和一张平面的交线 是什么曲线?,设 S 是空间中的一个二次曲面, 它在坐标系 I 中的方程为 F(x, y, z) = 0, 为平面., 代数曲线,定义: 如果在一个平面上 F (x, y) 是 x, y 的一个 多项式, 则称方程 F (x, y) = 0 的图像为代数曲线, 把 F (x, y) 的次数称为这 个代数曲线的次数.,以 为xOy平面, 做一个新
