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1、2020/8/4,1,第八章 MATLAB数值积分 与微分,2020/8/4,2,数值积分 数值微分,2020/8/4,3,8.1.1 数值积分基本原理 求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间a,b分成n个子区间xi,xi+1，i=1,2,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。,8.1数值积分,2020/8/4,4,8.1.2 数值积分的实现方法 1. 变步长辛普生法 基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的
2、调用格式为： I,n=quad(fname,a,b,tol,trace) 其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=10(-6)。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。,2020/8/4,5,(1) 建立被积函数文件fesin.m。 function f=fesin(x) f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6); (2) 调用数值积分函数quad求定积分。 S,n=quad(fesin,0,3*pi) S = 0.9008
3、 n = 77,例8-1 求定积分(ex8_1,ex8_1_1),2020/8/4,6,2. 牛顿柯特斯法 基于牛顿柯特斯法，MATLAB给出了quadl函数来求定积分。该函数的调用格式为： I,n=quadl(fname,a,b,tol,trace) 其中参数的含义和quad函数相似，只是tol的缺省值取10-6。该函数可以更精确地求出定积分的值，且一般情况下函数调用的步数明显小于quad函数，从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。,2020/8/4,7,(1) 被积函数文件fx.m。 function f=fx(x) f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x); (2
4、) 调用函数quadl求定积分。 I=quadl(fx,0,pi) I = 2.4674,例8-2 求定积分。,2020/8/4,8,例8-3 分别用quad函数和quadl函数求定积分的 近似值，并在相同的积分精度下，比较函数 的调用次数。,2020/8/4,9,3. 被积函数由一个表格定义 在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用trapz(X,Y)函数。其中向量X,Y定义函数关系Y=f(X)。 例8-4 用trapz函数计算定积分。,2020/8/4,10,8.1.3 二重定积分的数值求解 使用MATLAB提供的dblquad函数就可以直接求出上述二重定积分的数值解。
5、该函数的调用格式为： I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace) 该函数求f(x,y)在a,bc,d区域上的二重定积分。参数tol，trace的用法与函数quad完全相同。,2020/8/4,11,例8-5 计算二重定积分(ex8_5,ex8_5_1),(1) 建立一个函数文件fxy.m： function f=fxy(x,y) global ki; ki=ki+1; %ki用于统计被积函数的调用次数 f=exp(-x.2/2).*sin(x.2+y); (2) 调用dblquad函数求解。 global ki;ki=0; I=dblquad(fxy,-2,2,-1,1) k
6、i I = 1.57449318974494 ki = 1050,2020/8/4,12,三重积分可以用函数triplequad()来实现，其用法与二重积分类似。 例：用不同的方法计算三重积分函数 (ex8_6,ex8_6_1) f = y*sin(x)+z*cos(x) 在区间0,pi,0,1,-1,1的值,2020/8/4,13,1.有限差分 在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计算向前差分的函数diff，其调用格式为： DX=diff(X)：计算向量X的向前差分， DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,n-1。 DX=diff(X,n)：计算X的n阶向前差分。例
7、如，diff(X,2)=diff(diff(X)。 DX=diff(A,n,dim)：计算矩阵A的n阶差分， dim=1时(缺省状态)，按行计算差分；dim=2，按列计算差分。,8.2 数值微分,2020/8/4,14,例8-6 生成以向量V=1,2,3,4,5,6为基础的范 得蒙矩阵，按列进行差分运算。,例8-7 用不同的方法求函数f(x)的数值导数， 并在同一个坐标系中做出f(x)的图像。(ex8_7),例8-8 利用有限差分计算正弦函数的导数。,2020/8/4,15,2. 梯度,2020/8/4,16,Fx,Fy,Fz,.=gradient(F),F是N维矩阵，返回N个方向的微分值； =gradient(F,h),h为一个标量，用于指定所有方向上自变量的间距； =gradient(F,h1,h2,),用多个标量来指定各个方向上自变量的间距。 例8-9 计算二维高斯函数的梯度场,
