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1、第三节 偏导数,一、偏导数的定义与计算,二、高阶偏导数,一、偏导数的定义与计算,定义 设函数 在点 的某邻域内有定义,自变量y保持定值y0，而自变量x在x0处有增量x，如果,存在，那么称此极限为函数 在点 对 的,偏导数，记为：,即,类似地，函数 在点 处对 的偏导数：,如果函数 在区域D的每一点 对x的偏导数,都存在，这个偏导数仍然是 的函数,则称它为,对x的偏导函数，记为 即,同理有偏导函数,例1 求函数 在点 处的偏导数。,解：将y视为常数，对x求导，得,将x视为常数，对y求导，得,代入 ，得到,另解：,例2 设 ，求,解：将y看着常数，则z是x的幂函数，于是,将x看着常数，则z是y的指
2、数函数，于是,例3 求函数 的偏导数。,解：,把 视为常数，对x求导，得,同理，,例4. 设,证:,例5. 求,的偏导数.,解:,求证,例6 已知理想气体的状态方程为 (R为常数)，,求证：,证: 由状态方程得,则,所以,二元函数偏导数的几何意义:,是曲线,在点 M0 处的切线,对 x 轴的斜率.,在点M0 处的切线,斜率.,是曲线,对 y 轴的,函数在某点各偏导数都存在,虽然,例如,注意：,但在该点不一定连续！,但在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)的极限不存在，从而在该点不连续。,二、高阶偏导数,设 z = f (x , y)在域 D 内存在偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数
3、，,则称它们是 z = f ( x , y ),的二阶偏导数。,按求偏导顺序不同, 有下列4个二阶偏导数,类似可以定义更高阶的偏导数.,例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为,z = f (x , y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶,偏导数为,二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。,例7 求 的所有二阶偏导数。,解：,先求一阶偏导数,再求二阶偏导数,注意，上式不总是成立!,例如,二者不等,（证明从略）,本定理对n元函数的高阶混合偏导数也成立。,例8 设 ，求 。,解：,由定理9.1，有,例9 验证函数 满足方程,解：因为 ，所以,根据对称性，有,因此,拉普拉斯方程,内容小结,1. 偏导数的概念及有关结论,定义; 记号; 几何意义,函数在一点偏导数存在,函数在此点连续,混合偏导数连续,与求导顺序无关,2. 偏导数的计算方法,求一点处偏导数的方法,先代后求,先求后代,利用定义,求高阶偏导数的方法,逐次求导法,(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序),作业 P46-47 T1(1)(3)T2(1)T3(1)(6),
