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1、第五节 函数的连续性,一、函数连续的概念,定义设函数 的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量 趋于零时，相应的函数值的增量 也趋于零，则称f(x)在点 处 连续。,函数f(x)在点连续的另一种形式的定义 定义设函数f(x)在点 的某个邻域内有定义，若,则称函数f(x)在点 处连续。,左连续,右连续,注：函数在某点连续的充要条件是函数在该点既是左连续又是右连续。,定义如果一个函数在某个区间上的每一点都连续，则称这个函数为该区间上的连续函数。,例1 证明函数 在定义域内连续。,证明 设x为函数定义域 上的任意一点，则,因为,所以,因此,在定义域上连续。,(1) 在 处没有定义；,(2) 虽在 处有
2、定义，且 存在，但,(3) 虽在 有定义，但 不存在。,这样的点 称为间断点。,下面举例来说明函数间断点的几种常见类型 例3 函数 在点x2处没有定义，所以x2 是该函数的间断点，但 ，如果,补充定义：令x2时，y4，所给函数在x2成为连续，则称x2为该函数的可去间断点。,例4 符号函数 ，当 时,，,左、右极限都存在，但不相等，故 不存在，所以点x0是函数的间断点，则称x0为函数f(x)的跳跃间断点。,例5 函数 在x0没有定义，且,都不存在，则称x0是f(x)第二类间断点。,小结：间断点分两类：如果 是函数f(x)的间断点，但左极限 及右极限 都存在 ，则称 为 f(x)的第一类间断点；在
3、第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点。不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点。,三、连续函数的基本性质,定理1.10 （连续函数的四则运算） 设f(x)、g(x)均在 处连续，则 （1） 处连续； （2） 处连续； （3）若 处连续。,例如 由定理可知 在其定义域上连续。,定理1.12 （复合函数的连续性）设函数 处连续，函数 在 处连续，且且 则复合函数 处连续。 即,说明 ：定理的条件中内函数 在 处连续可以减弱为内函数 在 时极限存在，函数的符号与极限号可以交换次序。即,例5 求,解,定理1.13 （反函数的连续性）若函数在某区间上是严格单调且连
4、续，则它的反连续在对应的区间上也严格单调且连续。,例如 反三角函数 它们的定义域内都是连续的。,定理1.14 一切初等函数在其定义域内是连续的。,注：初等函数在定义域上某点的极限值等于函数在该点的函数值。,例6 求,解,例7 求,分析 ：属于 型，先有理化，再求极限。,解,四、闭区间上连续函数的性质,定理1.15 (最大值最小值定理) 若函数f(x)在闭区间 上连续，则在 上至少存在两点 ，使对 上一切的x，都有 ,其中 和 分别称为f(x)在 上的最小值和最大值。如图,0,X,y,a,b,推论 若函数f(x)在闭区间 上连续，则f(x)在 上必有界。,说明1 ：若把推论中的闭区间改为开区间，
5、定理不一定成立。,例如 是(0,1) 内的连续函数，它在(0,1) 内既不能取得最大值，也不能取得最小值。,说明2：若定理及推论中函数f(x)在闭区间有间断点，定理的结论也不一定成立。,例如 函数 在闭区间 上有间,断点x0，它取不到最大值和最小值。,定理（介值定理）若函数f(x)在闭区间 上连续，且 ，则对于f(a)与f(b)之间的任意数k，在(a,b)内至少存在一点,说明：如果函数f(x)在闭区间 上连续，则它必定能够取得f(a)与f(b)之间的任意值k 。,0,a b,y,x,k,推论（根的存在定理）若f(x)在区间 上连续，且 (即f(a)、f(b)异号)，则在(a,b)内少存在一点,闭,至,即方程,在(a,b)内至少有一个,根,说明 ：连续的曲线y=f(x)端点在x轴的两侧时，则曲线与x轴至少相交一次。,例9 证明方程 至少有一个根介于1和2之间,。,0,a,b,x,y,证明：设,，,则,f(x)在 上连续，且,由根的存在定理知：在(1,2)内至少存在一点,使得,，得证。,内容小结：,1、函数连续与间断的概念； 2、连续函数的基本性质； 3、闭区间上连续函数的性质。,
