《12数列极限98595教学案例》由会员分享，可在线阅读，更多相关《12数列极限98595教学案例（62页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、二、收敛数列的性质,一、数列极限的定义,第二节 数列的极限,极限认识的难点：,0.999999=1？,极限意境：孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流。,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，
2、割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,2、截丈问题：,“一尺之棰，日截其
3、半，万世不竭”,二、数列的定义,例如,注意：,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整标函数,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,问题:,当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,通过上面演示实验的观察:,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它?,这就是“当n无限增大时，xn无限地接近于1”的实质和精确的数学描述。,如果数列没有极限,就说数
4、列是发散的.,注,此定义习惯上称为极限的N定义，它用两个 动态指标和N刻画了极限的实质，用|xna| 定量地刻画了xn 与a 之间的距离任意小，即任给 0标志着“要多小”的要求，用n N表示n充分 大。这个定义有三个要素(1)，正数，(2)，正数 N，(3)不等式|xna|（n N）,定义中的具有二重性：一是的任意性，二是 的相对固定性。的二重性体现了xn 逼近a 时要 经历一个无限的过程（这个无限过程通过的任意 性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现， 而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通 过的相对固定性来实现）。,定义中的N是一个特定的项数，与给定的有关。 重要的是它的存在性，
5、它是在相对固定后才能确定的，且由|xna|来选定，一般说来，越小，N越大，但须注意，对于一个固定的，合乎定义要求的N不是唯一的。用定义验证xn 以a 为极限时，关键在于设法由给定的，求出一个相应的N，使当n N时，不等式|xna|成立。,在证明极限时，n，N之间的逻辑关系如下图所示,|xna| ,n N,定义中的不等式|xna| （n N）是指下面 一串不等式,都成立，,而对,则不要求它们一定成立.,由于是任意给定的正数，自然,也都是任意给定的正数，它们本质上与起同样的作用。在以后的学习中，常用到这些等价的形式。,数列极限的几何意义,使得 N 项以后的所有项,都落在a点的邻域,因而在这个邻域之
6、外至多能有数列中的有限个点,这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外都能凝聚在点a的任意小邻域内，同时也表明数列xn中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。,注意：,数列极限的定义只用来证明极限，未给出求极限的方法.若要求极限，首先要先证明极限的存在性，然后才能求极限值。,例1,所以,证,利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式|xna|不易考虑，往往采用把 |xna|放大的方法。若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单的不等式去寻找项数指标N.,放大的原则：,放大后的式子较简单 放大后的式子以0为极限,例2,证明数列 以 0为极
7、限.,证,要使,由于,有,例3,证,练习,证明,证明,则当n N时，有,四、数列极限的性质,1.有界性,例如,有界,无界,定理1 收敛的数列必定有界.,证,由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,有界性定理的推论：无界数列必发散.,即 无界数列的极限不存在 .,收敛的数列必有界. 有界的数列不一定收敛. 无界的数列必发散 . 发散的数列不一定无界.,2.唯一性,定理2 每个收敛的数列只有一个极限.,分析,直接证明较困难，采用反证法,由数列极限的几何意义，,在a的任一邻域内聚集着xn中的无穷多个点，而在该邻域之外至多有xn中的有限个点,设数列 xn 收敛, 但其极限不唯一, 不妨设有：,证,
8、运用反证法,任意性,常数,由 的任意性, 上式矛盾, 故 a = b .,另证,(反证法),ab 不妨设 a b,矛盾，这说明结论成立,例4,证,由定义,区间长度为1.,不可能同时位于长度为1的区间内.,3. 保号性,证,由绝对值不等式的知识, 立即得,a 0 的情形类似可证, 由学生自己完成 .,定理3,保号性定理的推论：,这里为严格不等号时,此处仍是不严格不等号,由保号性定理, 运用反证法证明,子数列的概念,在数列 xn: x1 , x2 , , xn , 中, 保持各项原来的先后次序不变, 自左往右任意选取无穷多项所构成的新的数列, 称为原数列的一个子数列, 记为,4. 子数列的收敛性,
9、定理4,若数列 xn 收敛于a ，则它的任一子数列 也收敛，且极限也是a,证,这一定理表明的是收敛的数列与其子数列之间的关系。由此可知，若数列xn 有两个子数列收敛于不同的极限值，则xn一定是发散的。,子数列收敛定理往往用来证明或判断数列极限不存在,例5,对于数列xn,证,则,恒有,问. 如何判断数列极限不存在?,方法1. 找一个趋于的子数列;,方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.,练习,试证数列 不收敛.,证,因为 的奇子数列,不收敛.,收敛于,而偶子数列,所以数列,收敛于,五.小结,数列:研究其变化规律;,数列极限:极限思想,精确定义,几何意义;,收敛数列的性质:有界性唯一性.,思考题,“,”,恒有,是数列,收敛于a的( ).,A. 充分但非必要条件,B. 必要但非充分条件,C. 充分必要条件,D. 既非充分也非必要条件,1,C,2,D. 不确定,作业,习题1-2 (30页),3. (2) (4) 4. 5. 6.,
