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1、(多元函数微分法及其应用),第八章 多元函数微分法及其应用,本章主要讨论二元函数的微分法及其应用.,第一节 多元函数的基本概念,一. 平面点集 n维空间,1.平面点集,当在平面上引入一个直角坐标系后,平面上的点P与有序二元,实数组(x,y)之间建立一一对应.这样我们把有序实数组和平面,上的点等同起来.这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.,坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记作 E = (x,y)|(x,y)具有性质P.,称为点,p(x,y)的全体,邻域：,与点,的距离小于的,的邻域,记作,内点 外点 边界点 聚点,E,p,. 是E的内点.,设E是平面上的一个点集,p是平面上的一
2、个点,如果存在点p的某一个邻域U(p),使U(p)E,则,称p为E的内点.(如图).显然,E的内点属于E,但E的点不一定,外点 如果存在点P的任一邻域U(p),使U(p)E=,则称P,为E的外点.,若点集E的点都是E的内点,则称E为开集, 例如,点集,E1=(x,y)|4,开集.,若点p的任一邻域内既有属于E的点,又有不属于E的点(点p,本身可以属于E也可以不属于E).则称p为E的边界点.E的边,界点的全体称为E的边界.,上面E1的边界是圆周,9中每个点都是E1的内点,因而E1为,=9,=4和,因此,点集E的聚点可以属于E,也可以不属于E.,如果点p的任一邻域内总有无限多个点属于点集E,则称p
3、为E,的聚点.显然E的内点一定是E的聚点,E的边界点也可能是E,的聚点.例如,设,一点既是,的聚点.并且它们不属于,的边界点又是,=(x,y)|0x+y1那么,直线x+y=0上的任,区域.,闭区域.例如(x,y)|0 x+y1,开区域,(它又有一边包含边界)又不是闭区域,区域,若对于集合D内的任意两点都可以用完全位于D内的折线,连接起来,则称集合D为连通集.连通的开集称为开区域.简称,例,不是开区域.因为它不是开集.区域连同它的边界一起,称为,既不是,不是闭区域,(因为它有一边不包含边界)因而,=(x,y)|0x+y1 ,9是开区域;,=(x,y)|4,(x,y)|x+y0是无界点集.,若存在
4、正实数r,使点集,表示E内的一切点到原点的距离不超过r.则称点集E为有界,点集;否则(表示找不到r)称为无界点集.例如,是有界开区域,其中O为坐标点,n 维空间,1.定义 设n为取定的一个自然数,我们用Rn表示n元有序,实数组,Rn=R R. R=,Rn中的元素,的全体所构成的集合,即,|xiR,i=1,2,.n,也用x表示,即x=,当所有的xi=0(i=1,2n)时,称这样的元素为零元,记为0或O.,称为坐标原点或n维零向量.,在解析几何中通过直角坐标系,平面或空间中的点或向量建立一一对应,这样在,也称为,为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量,在,中的零元0,中的一个点或一个n维向量,
5、而称,中的元素,)中的元素分别与,(或,X,(x,y),规定,2.在Rn中定义线性运算. 设x=,y=,规定 x+y=,3. Rn中点x =,为Rn中任意两个元素,R,之间的距离,和点y =,x=,结合向量的线性运算,我们得到,中两点之间距离一致.,显然,n=1,2,3时,上述的规定与数轴上,直角坐标系下平面及空间,Rn中元素x=,为x,即,与零元0之间的距离(x,0),记,由于线性运算和距离的引入,前面研究的邻域,内点,开集,记作xa,4. Rn中变元的极限,设x=,x-a0,则称变元x在Rn中趋于固定元a,闭集等一系列概念都可定义.,Rn 如果,a=,二. 多元函数的概念,一对数值(a,b
6、)时,面积S的对应值就随之确定了.,1.多元函数的定义,在实际问题及科技活动中,经常遇到多个变量之间的依赖,关系.看下面的两个例子.,例1 椭圆的面积S取决于它的长,短半轴长a与b,它们之间有,如下关系,S=ab (a0,b0) 这里的a,b在一定范围内取定,我们从这里就可以得到二元函数的定义.,数集 f(D)=z|z=f(x,y),(x,y)D 称为该函数的值域.,定义1 设D是,的二元函数,通常记为 Z=f(x,y), (x,y)D 或,z=f(p) PD,其中点集D称为该函数的定义域,x,y称为自变量,z称为因变量,记 .,的一个非空子集,称映射f:DR为定义在D上,类似地可以定义三元及
7、三元以上的函数.三元函数记 u=f(x,y,z). 点函数z=f(p)(pD)是定义在点集D上的一个函数.这 里设D是平面点集,则z=f(p)定义的是一个二元函数.如果D 是数轴上的点集(或空间内的点集),则z=f(p)定义的是一 元(或三元)函数.,例2 圆柱体的体积V和它的底半径R,高h的关系为:V=R2h (R0,h0). 例3,在上述函数概念中,关键的两点为: (1)自变量x,y的变化范围,称为定义域; (2)对应法则,即函数关系. 关于函数概念,我们主要研究三方 面的问题: (1)求函数的定义域; (2)建立函数关系; (3)求函数值.,2. 二元函数的定义域: 二元函数中自变量x,
8、y的取值范围称为函数的定义域.,围成平面区域的曲线称为该区域的边界,包括边界在内的区 域称为闭区域;不包括边界在内的区域称为开区域;包括部 分边界在内的区域称为半开区域.如果区域延伸到无穷远处, 称为无界区域,否则称为有界区域.,多元函数的定义域 函数的定义域与函数的实际意义有关.我们约定:在没 有明确指出定义域 D时,函数的定义域是使函数有定义的点 的全体.这样的定义域叫做函数的自然定义域.,注意:二元函数z=f(x,y)中,自变量在定义域内可以独立地 取值,即x取值与y取值没有必然联系,而且有可能出现x可 以取不同的值,而y的值不变,或y可以取不同的值,而x的值 是不变的情况.,例3 求下
9、列函数的定义域:,解:(1)要使根号内的数有意义, 因此函数的定义域为 (x,y)| x+y-10图形为右所示,(2)要使,有意义,必须x2+y2-10,并且,y,多元函数的定义域的求法: 要先写出构成部分的各简单函数的定义域,再联立不 等式组,即得到所求的定义域.,其图形为以原点为中心,半径分别为1和,此函数的定义域为(x,y)|1x2+y25,分,包括两个圆,之间的部,o,x,y,z,Z=f(x,y),M,p,x,y,4.二元函数的几何意义: 设二元函数z=f(x,y)的定义域 xoy平面上的某一区域D,对于 D上的每一点p(x,y),在空间可以 作出一点M(x,y,F(x,y)与它对应.
10、 当点p(x,y)在D中变动时,点M(x, y,F(x,y)就在空间作相应地变动 它的轨迹是一个曲面.,例如线性函数z=ax+by+c是一个平面. x2+y2+z2=a2确定的函数,点集D=(x,y)|x2+y2a2为闭区域.当p 在D中,变动时,它对应的两个函数值, 分别表示两个图形.一个是上 半球面,另一个是下半球面.以后我们 讨论的函数是单值的. 当遇到多值函数时,可分成几个单 值分支来讨论.,p,p0(x0,y0),x,y,z,1.多元函数极限的定义 多元函数极限与一元函数存在形式上一致,但确实有着 本质区别.先研究二元函数的极限,三 多元函数的极限,.又因为,时等阶于 ,显然,时的极
11、限,p(x,y),为其一聚点.选择一动点p(x,y).现在讨论当,D,(1)二元函数的极限 设z=f(x,y),直观定义:和一元函数极限一样,如果在pp0 的过程中,对应 的函数值f(x,y)无限接近一个确定的常数A.就说A为当pp0 , 或x x0 ,y y0,时的极限,p,p0(x0,y0),p(x,y),0,x,y,例如,现在我们用-来定义这个概念: -语言定义设函数z=f(x,y)的 定义域为D.p0(x0,y0)是D的聚点.如果 对于任意给定的正数,总存在0,使适合不等式,的一切点p(x,y)D,都|f(x,y)A|成立.则称A为函数z=f(x,y).当xx0,yy0时的极限.记作,
12、二元函数的极限称为二重极限. 研究二元函数极限定义时,我们注意以下两点: (1)不研究p0(x0,y0)处的状态,仅研p(x,y)p0(x0,y0) 的过程中,函数f(x,y)的变化趋势.所以定义中规定, 函数z=f(x,y)在点p0(x0,y0)的某个邻域内有定义,但 不要求函数在点p0(x0,y0)有定义.,(2)极限值A应是一个确定的常数,它与p(x,y)趋近 p0(x0,y0)的方式无关.也就是说:p(x,y)以任何方式趋 于p0(x0,y0)时,函数都无限接近于A.,例4 求极限,例5 设,证明,证明:,成立,化成一元函数求极限,有界量和无穷小的乘积为无穷小,例6 考察函数 f(x,
13、y)=,的极限,解: (1)当点p(x,y)沿x轴趋于点(0,0)时,这是一种特殊的趋近方式,(2)当点p(x,y)沿y轴趋近点(0,0)时,这也是一种特殊的趋近方式,(3)当点p(x,y)沿直线y=kx趋近点(0,0)时,随着k的不同,极限值也不同.所以,不存在,例8 求:,例7 求:,20. 关于二元函数极限的说明 首先所谓的二重极限存在.是指p以任何方式(或沿任何径) 趋于p0时函数的极限都要存在,且相等于常数A.因此,当p以 某一特殊方式.例如沿某一条(也可能是几条)直线或曲线无 限接近p0时,即使函数无限接近某一确定的常数A,还不能由 此判断该函数存在极限. 这就是说当p沿某一特定方
14、式趋向 p0时,f(x,y)的极限不存在,或p沿某两条特定的方式趋向p0 时,函数极限存在但不相等.则该函数极限不存在.,p0,-p,p,而一元函数中p趋向p0的方式只有两种.一是沿x轴某一方向 趋近二是左,右方向,四.多元函数的连续性 定义4: 设多元函数f(p)定义在D上,p0是D的聚点.pD, 如果当pp0时函数f(p) 的极限存在,且等于该函数在点p0处 的函数值,即,就称函数f(p)在点p0处连续.,如果函数f(p)在点集M的各点处都连续,就称函数f(p)在M 上连续.可以证明: 一切多元初等函数在其定义域内是连续的. 若函数f(x,y)在点P0(x0,y0)不连续,则p0称为函数的
15、间断 点.这里指出如果在开区域(或闭区域)D内某些孤立点,或者 沿D内某些曲线,函数f(x,y)没有定义但在D内其余部分,函 数都有定义,那么这些孤立点或这些曲线上的点,都是函数 f(x,y)的不连续点,即间断点.,例9 求,和闭区间上一元函数的性质相似,在有界闭区域上多元 函数也有下列主要性质.,性质1(最值定理) 在有界闭区域上的多元连续函数,在该 闭区域上必定达到它的最大值与最小值.,性质2(介值定理) 在有界闭区域上的多元连续函数,如 果取得两个不同的函数值,则它在该区域上取得介于这两 个值之间的任何值至少一次.,性质3(一致连续性定理) 在有界闭区域D上的多元连续 函数必定在D上一致
16、 连续.,性质3表示若f(P)在有界闭区域D上连续,则对于任意给定,的正整数,总存在正数,使对于D上的任意两点,只要当|,|时都有,|f(P1)-f(P2)| 成立.,这里我们补充三个内容: (1)求二元函数的表达式. 这方面的问题有二种情况,一 是已知函数f(x,y)的表达式,求复合函f(x,y),(x,y) 的表达式,这情况比较简单.只需要把(x,y),(x,y)分 别替换f(x,y)中的x,y即可.,另一种是它的反问题,即已知f(x,y),(x,y)求f(x,y). 其一般的方法是令u= (x,y),v= (x,y),从中解出x,y, 代入f(x,y),(x,y)中,把u,v换成x,y即可,但有时不 能从u,v中解出x,y时,往往需要用凑成的函数.,(一)求二元函数极限的方法 1.化二元函数为一元函数极限 例3 求,2.应用二元函数极限的夹逼准
