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1、2.1函数的概念及表示,知识清单,考点一函数的概念及表示方法 1.函数与映射概念的比较,由映射的定义可以看出,映射是函数概念的推广,函数是一种特殊的映射,要注意构成函数的两个集合A、B必须是非空数集. 2.函数的三要素:定义域、值域、对应关系.,3.函数的定义域、值域 在函数y=f(x),xA中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域. 4.函数定义域的求法 (1)分式的分母不为零; (2)偶次方根的被开方数大于或等于零;,(3)对数的真数大于零,底数大于零且不等于1; (4)零次幂的底数不为零; (5)三角函数中
2、的y=tan x:xk+(kZ); (6)已知函数f(x)的定义域为D,求函数fg(x)的定义域,只需g(x)D;,(7)已知函数fg(x)的定义域,求函数f(x)的定义域,只需xy|y=g(x),即xg(x)的值域.,5.求函数值域常用的方法 (1)列举法 直接根据函数的定义域与对应关系将函数值一一求出来写成集合形式的方法叫做列举法.这种方法只适用于值域中元素为有限个或虽然是无限个但却是与自然数有关的集合. 如狄利克雷函数: f(x)= (2)逐层求值域法,逐层求值域法就是根据x的取值范围一层一层地去求函数的值域. 例如:求函数f(x)=,x2,5的值域. 解析:x2,5, 2x4,10,
3、1-2x-9,-3, ,即f(x). (3)分离常数法 形如y=(a0)的函数的值域,经常使用“分离常数法”求解. 例如:求函数y=的值域.,解析:y=+, 所求函数的值域为. (4)配方法 配方法是求“二次函数类”值域的基本方法,求形如F(x)=af(x)2+bf(x)+c(a0)的函数的值域问题,均可使用配方法,求解中要注意f(x)整体的取值范围. (5)换元法 (i)代数换元.形如y=ax+b(a,b,c,d为常数,ac0)的函数,可设 =t(t0),转化为二次函数求值域.若有单调性,则用单调性更简捷, 如y=x+.,(ii)三角换元.如y=x+,可令x=cos ,0, y=cos +s
4、in =sin,0,. 换元法求值域,一定要注意新元的范围对值域的影响. (6)判别式法 把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)=0,通过方程有实根,判别式0,求得原函数的值域,形如y=(a1,a2不同时为零)的函数的值域 常用此法求解. 用判别式法求值域的注意事项:(i)函数的定义域为R; (ii)分子、分母没有公因式. (7)有界性法,形如sin =f(y),x2=g(y),ax=h(y)等的函数,由|sin |1,x20,ax0可解出y的范围,从而求出其值域. (8)数形结合法 若函数解析式的几何意义较明显,如距离、斜率等,可用数形结合的方法求解值域. (9)基本不等式法 利用基本不等
5、式:a+b2(a0,b0)求函数的值域. 用此法求函数值域时,要注意条件“一正,二定,三相等”,如:利用a+b2求某些函数的值域时,应满足三个条件:(i)a0,b0;(ii)a+b(或ab)为 定值;(iii)取等号的条件a=b.三个条件缺一不可. (10)单调性法,(i)单调函数的图象是一直上升或一直下降的,因此若函数在端点处有定义,则函数在端点处取最值,即 若y=f(x)在a,b上单调递增,则ymin=f(a),ymax=f(b); 若y=f(x)在a,b上单调递减,则ymin=f(b),ymax=f(a). 如果函数在端点处没有定义,则不可能在端点处取得最值. (ii)形如y=ax+b+
6、的函数,若ad0,则用函数的单调性求值域;若ad0)的函数,在基本不等式的条件不具备的情况下 (等号不成立),可考虑用函数的单调性求值域,当x0时,函数y=x+(k0) 的单调减区间为(0,单调增区间为,+).一般地,把函数y=x+,(k0,x0)叫做对勾函数(图象形如“”),其分界点为(,2).k0,x 0的情况,可根据函数的奇偶性解决. 6.相等函数 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数为相等函数. 7.函数的表示方法 表示函数的常用方法有:解析式法、图象法、列表法.,考点二分段函数 在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值范围,有着不同的对应关系,这样的函数叫分段
7、函数.如f(x)= 分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数. 易混易错 (1)若函数y=log3(x2+ax-a)的定义域为R,则实数a的范围是. (2)若函数y=log3(x2+ax-a)的值域为R,则实数a的范围是.,解析(1)由题可知x2+ax-a0,xR恒成立, =a2+4a0,-4a0. (2)令u=x2+ax-a,由题可知,u能取遍(0,+)内的一切值, =a2+4a0,a0或a-4.,答案(1)(-4,0)(2)(-,-40,+),求函数解析式的方法 1.已知函数类型时,如幂函数、指数函数、对数函数、一次函数、二次函数等,可用待定系数法,列出方程(组),确定其中的系数即可
8、. 2.换元法:已知fh(x)=g(x),求f(x)的问题,往往先设h(x)=t,从中解出x,代入g(x)进行换元求解. 3.构造法:当方程中同时出现f(x), f(-x),或同时出现f(x),f时,可构造另 一个方程,列方程组求解. 4.赋值法:f(x)是关于x,y两个变量的方程式,可对变量赋值求出f(x).,方法技巧,例1(1)已知f(x)是一次函数,且ff(x)=4x+3,则f(x)的解析式为; (2)已知g(x+2)=2x+3,则g(x)=; (3)(2016河南郑州一中期末,13)已知函数f(x)满足f(x)+2f(-x)=x-,则f(x) 的解析式为; (4)(2016广东中山模拟
9、,15)已知f(0)=1,对任意的实数x,y,都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),则f(x)的解析式为.,解题导引 (1)设f(x)=ax+b(a0)列方程组, 解得a,b写出f(x) 的解析式 (2)设t=x+2x=t-2,代入 g(x+2)整理得g(x)的 解析式 (3)用-x代替x, 列出方程组解方程组,求f(x)的解析式 (4)赋值法, 令x=0求出f(-y)用换元法求f(x),解析(1)设f(x)=ax+b(a0),则ff(x)=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=4x+3, 解得或 故所求的函数为f(x)=-2x-3或f(x)=2x+1. (2)设x+
10、2=t,则x=t-2. g(x+2)=2x+3, g(t)=2(t-2)+3=2t-1, 因此g(x)=2x-1. (3)由f(x)+2f(-x)=x-得f(-x)+2f(x)=-x+,由得f(x)=-x+. (4)令x=0,得f(-y)=f(0)-y(-y+1)=1+y2-y, f(y)=y2+y+1, f(x)=x2+x+1.,答案(1)f(x)=-2x-3或f(x)=2x+1(2)2x-1 (3)f(x)=-x+(4)f(x)=x2+x+1,求函数的定义域、值域的方法 1.求具体函数y=f(x)的定义域 2.求复合函数的定义域 (1)若已知函数f(x)的定义域为a,b,则函数f(g(x)
11、的定义域由ag(x)b求出.,(2)若已知函数f(g(x)的定义域为a,b,则f(x)的定义域为g(x)在xa,b时的值域. 3.求函数的值域常用换元法、分离常数法、判别式法、单调性法、基本不等式法. 4.在求定义域时应注意的问题 (1)对解析式化简变形必须是等价的,以免定义域发生变化. (2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时,定义域是各个定义域的交集. 例2(2017广东深圳一模,3)函数y=的定义域为(C) A.(-2,1)B.-2,1C.(0,1)D.(0,1,解题导引 由题意得, 解不等式组,求出x的范围,解析由题意得解得0x1,故选C.,分段函数相关问题的处
12、理方法 1.分段函数是一个函数,其定义域是各段定义域的并集,其值域是各段值域的并集. 2.处理分段函数问题时,首先要确定自变量的取值属于哪个区间,再选取相应的对应关系. 例3(2017福建泉州3月质检,10)已知函数f(x)=若af(a)- f(-a)0,则实数a的取值范围为(D) A.(1,+)B.(2,+) C.(-,-1)(1,+)D.(-,-2)(2,+),解题导引 讨论a0与a0,分别代入 f(x)的解析式解不等式求结果,解析当a0时,不等式可化为a(a2+a-3a)0,即a2+a-3a0,即a2-2a0,解得a2或a0,即-3a-a2+a0,解得a0(舍去). 综上,实数a的取值范围为(-,-2)(2,+).,
