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1、,左右极限,两个重要 极限,求极限的常用方法,无穷小 的性质,极限存在的 充要条件,判定极限 存在的准则,无穷小的比较,极限的运算法则,函 数 极 限,等价无穷小 及其性质,极限的性质,两者的 关系,无穷大,左极限,右极限,定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,无穷小的运算性质,定理,推论1,推论2,3、极限的运算法则,4、求极限的常用方法,a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限
2、; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.,5、判定极限存在的准则,(夹逼准则),准则,开区间内单调有界函数在端点处必有极限,.,准则,极限存在充要条件左右极限存在且相等,(1),(2),6、两个重要极限,定义:,7、无穷小的比较,定理(等价无穷小替换定理),8、等价无穷小的性质,极限的性质:,唯一性定理,局部有界性定理,局部保序性定理,局部保号性定理,左右连续,在区间a,b 上连续,闭区间上 连续函数的性质,初等函数 的连续性,间断点定义,连 续 定 义,连续的 充要条件,连续函数的 运算性质,1、连续的定义,定理,3、连续的充要条件,
3、2、单侧连续,4、间断点的定义,(2) 跳跃间断点,(1)可去间断点,5、间断点的分类,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点:,可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,第二类间断点,6、闭区间的连续性,7、连续性的运算性质,定理,定理1 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.,定理2,8、初等函数的连续性,定理3,定理4 基本初等函数在定义域内是连续的.,定理5 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,9、闭区间上连续函数的性质,定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,基本定理: 在闭区
4、间上连续的函数的值域为闭区间.,定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.,求 导 法 则,基本公式,导 数,高阶导数,导数,1、导数的定义,定义,2.右导数:,单侧导数,1.左导数:,2、基本导数公式,（常数和基本初等函数的导数公式）,3、求导法则,(1) 函数的和、差、积、商的求导法则,(2) 反函数的求导法则,(3) 复合函数的求导法则,(4) 对数求导法,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.,适用范围:,(5) 隐函数求导法则,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,(6) 参变
5、量函数的求导法则,4、高阶导数,记作,二阶导数的导数称为三阶导数,(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数),例1,二、例题（极限、连续）,解：,例2. 求下列极限：,提示:,令,例4,解,例5,解,有无穷间断点,及可去间断点,解:,为无穷间断点,所以,为可去间断点 ,极限存在,例6. 设函数,试确定常数 a 及 b .,例7,证明,讨论:,（注意连续区间发生变化）,由零点定理知,综上,例8. 当,时,是,的几阶无穷小?,解: 设其为,的,阶无穷小,则,因,故,三、例题（导数）,例1,解,例2.,若,且,存在,求,解:,原式 =,且,联想到凑导数的定义式,例3.,且,存在, 问怎样,选择,可使下述函数在,处有二阶导数.,解: 由题设,存在, 因此,1) 利用,在,连续,即,得,2) 利用,而,得,3) 利用,而,得,例4,解,例5,解,分析:,不能用公式求导.,例6,解,先去掉绝对值,例7,解,两边取对数,例8,解,分析：,例9,解,
