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1、第二节,二重积分的计算法,第九章,一、利用直角坐标计算二重积分,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X 型区域,则,若D为Y 型区域,则,X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,若区域如图，,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,则必须分割.,例2. 计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解1:,及直线,1,例2. 计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解2: 为计算简便, 后对 y 积分,及直线,则,例3. 计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解: 由被积函
2、数可知,先对 x 积分不行,说明:,选择积分序的原则：,先积分的容易，并能为后积分创造条件； 积分域的划分，块数越少越好,例4. 交换下列积分顺序,解: 积分域由两部分组成:,视为Y型区域 , 则,例5. 计算,其中D 由,所围成.,解: 令,(如图所示),显然,二、利用极坐标计算二重积分,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,及射线 =常数, 分划区域D 为,在极坐标系下, 用同心圆 =常数,对应有,在,内取点,即,则,1、极点在边界外,注意：积分域的边界曲线用极坐标表示,如何确定上下限？,2、极点在边界上,(1),(2),3、极点在边界内,何时选用极坐标？,积分域D形状：圆域、环域、扇域
3、、环扇域,被积函数形式：,例6. 计算,其中,解: 在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,注:,利用例6可得到一个,反常积分公式,例7. 求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解:,由对称性可知,o,例8:,其中D 为由圆,所围成的,及直线,解：,平面闭区域.,例9. 交换积分顺序,提示: 积分域如图,第三节,一、三重积分的概念,二、三重积分的计算,三重积分,第九章,一、三重积分的概念,类似二重积分解决问题的思想, 采用,引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的,物质,求分布在 内的物质的,可得,“大化小, 常代变, 近似
4、和, 求极限”,解决方法:,质量 M .,密度函数为,定义. 设,存在,称为体积元素,若对 作任意分割:,任意取点,则称此极限为函数,在上的三重积分.,在直角坐标系下常写作,三重积分的性质与二重积分相似.,性质:,下列“乘,积和式” 极限,二、三重积分的计算,1. 利用直角坐标计算三重积分,方法1 . 投影法 (“先一后二”),方法2 . 截面法 (“先二后一”),如图，,方法1 . 投影法,得,其中 为三个坐标,例1. 计算三重积分,所围成的闭区域 .,解:,面及平面,例2. 计算三重积分,解:,解,方法2. 截面法,例2. 计算三重积分,解:,用“先二后一 ”,注：被积函数为一元函数时，多
5、选用截面法,例3 .计算积分,其中是两个球,( R 0 )的公共部分.,提示: 由于被积函数缺 x , y ,原式 =,利用“截面法” 计算方便 .,小结: 直角坐标系三重积分的计算方法,方法1. “先一后二”,方法2. “先二后一”,“三次积分”,具体计算时应根据,二种方法(包含6种次序)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择.,例4：设,计算,提示: 利用对称性,原式 =,奇函数,灵活应用对称性：,例5：计算,解：,积分域关于y=x、y=z、x=z平面对称,1. 将,用三次积分表示,其中由,所,提示:,六个平面,围成 ,2. 利用柱坐标计算三重积分,就称为点M 的柱坐标.,直角坐标与柱面
6、坐标的关系:,坐标面分别为,圆柱面,半平面,平面,如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为,因此,其中,适用范围:,1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ;,2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.,其中为由,例1. 计算三重积分,所围,解: 在柱面坐标系下,及平面,柱面,成半圆柱体.,例2. 计算三重积分,解: 在柱面坐标系下,所围成 .,与平面,其中由抛物面,原式 =,解,知交线为,解,所围成的立体如图，,所围成立体的投影区域如图，,3. 利用球坐标计算三重积分,就称为点M 的球坐标.,直角坐标与球面坐标的关系,坐标面分别为,如图所示, 在球面坐标系中体积元素为,因此有,其中,适用范围:,1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单;,2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.,例5. 计算三重积分,解: 在球面坐标系下,所围立体.,其中,与球面,例6.求曲面,所围立体体积.,解: 由曲面方程可知, 立体位于xoy面上部,利用对称性, 所求立体体积为,yoz面对称, 并与xoy面相切,故在球坐标系下所围立体为,且关于 xoz,解,例9. 计算,其中,解:,利用对称性,例10. 设由锥面,和球面,所围成 , 计算,提示:,利用对称性,用球坐标,
