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1、第3讲,函数的奇偶性与周期性,1函数的奇偶性的定义,(1)对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有_或 _，则称 f(x)为奇函数奇函数的图象关于_对称 (2)对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有_或 _，则称 f(x)为偶函数偶函数的图象关于_轴对称 (3)通常采用图象或定义判断函数的奇偶性具有奇偶性的函 数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的 必要条件是其定义域关于原点对称),原点,f(x)f(x),f(x)f(x)0,f(x)f(x)0,y,f(x)f(x),2函数的周期性的定义 对于函数 f(x)，如果存在一个_T，使得定义域内的 每一个 x 值，都
2、满足_，那么函数 f(x)就叫做周期函 数，非零常数 T 叫做这个函数的_,非零常数,f(xT)f(x),周期,D,A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数,),C,2下列函数中，在其定义域内是奇函数的是(,C,Ay 轴对称 C坐标原点对称,B直线 yx 对称 D直线 yx 对称,4(2011年浙江)若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_.,解析：f(x)为偶函数，f(x)f(x)即x2|xa|(x)2|xa|xa|xa|，a0.,0,5设 f(x) 是( ，) 上的奇函数，f(x2) f(x) ，当,0 x1 时，f(x)x，则 f(7.5)_.,0.5,解析：由f
3、(x2)f(x)得f(x4)f(x)，故f(x)是以4为周期的函数故f(7.5)f(0.58)f(0.5)又f(x)是(，)上的奇函数，且当0 x1时，f(x)x，所以f(7.5)f(0.5)f(0.5)0.5.,考点1 判断函数的奇偶性 例1：判断下列函数的奇偶性：,解：(1)函数的定义域为x(，)，关于原点对称 f(x)|x1|x1|x1|x1| (|x1|x1|)f(x)， f(x)|x1|x1|是奇函数 (2)此函数的定义域为x|x0 由于定义域关于原点不对称， 故f(x)既不是奇函数也不是偶函数 (3)去掉绝对值符号，根据定义判断,故f(x)的定义域为1,0)(0,1，关于原点对称，
4、且有x2 0.,故 f(x)为奇函数 (4)函数f(x)的定义域是(，0)(0，) 当x0 时，x0， f(x)(x)1(x)x(1x)f(x)(x0) 当 x0 时，x0，f(x)x(1x)f(x)(x0) 故函数f(x)为奇函数,(5)此函数的定义域为1,1，且f(x)0. 可知图象既关于原点对称、又关于 y 轴对称， 故此函数既是奇函数又是偶函数,f(x)是奇函数,(1)函数的奇偶性是函数的一个整体性质，定义 域具有对称性(即若奇函数或偶函数的定义域为D，则 xD 时都 有xD)是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件，因此判断函 数的奇偶性应首先考虑函数的定义域 (2)分段函数的奇偶性一般
5、要分段证明 (3)用定义判断函数的奇偶性的步骤是：定义域(关于原点对 称)验证 f(x)f(x)下结论，还可以利用图象法或定义的等,【互动探究】,域均为 R，则(,),B,Af(x)与 g(x)均为偶函数 Cf(x)与 g(x)均为奇函数,Bf(x)为偶函数，g(x)为奇函数 Df(x)为奇函数，g(x)为偶函数,1(2010年广东)若函数f(x)3x3x与g(x)3x3x的定义,D,考点2,利用函数的奇偶性求函数解析式,【互动探究】 3(2011 年广东广州综合测试)已知函数 f(x)是定义在 R 上的 偶函数，当 x0 时，f(x)x3x2，则当 x0 时，f(x)的解析式为,_.,f(x
6、)x3x2,4(2011 年安徽)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，,f(x)2x2x，则 f(1)(,),A,A3,B1,C1,D3,解析：f(1)f(1)2(1)2(1)3.故选A.,考点3,函数奇偶性与周期性的综合应用,A,值的方法关键是通过周期性和奇偶性，把自变量转化到区间,本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数,5 2,0,1上进行求值,【互动探究】 5(2011 年山东)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数， 且当 0 x2 时，f(x)x3x，则函数 yf(x)的图象在区间0,6上,与 x 轴的交点的个数为(,),B,A6,B7,C8,D9,
7、解析：因为当0 x2 时，f(x)x3x，又因为f(x)是R 上最 小正周期为2 的周期函数，且f(0)0，所以f(6)f(4)f(2)f(0) 0，又因为f(1)0，所以f(3)0，f(5)0.故函数yf(x)的图象 在区间0,6上与x 轴的交点的个数为7 个，故选B.,D,Aabc Ccba,Bbac Dcab,易错、易混、易漏 5判断函数奇偶性时没有考虑定义域,正解：的定义域相同，均为(2,2)，且均有f(x)f(x)， 所以都是奇函数；的定义域为(，2)(2，)，且有 f(x)f(x)，所以为偶函数；而的定义域为(2，)不对称， 因此为非奇非偶函数,【失误与防范】在判断一个函数的奇偶性
8、时，必须注意其定义域一个函数具有奇偶性的前提是此函数的定义域关于原点对称,对于函数 f(x)定义域中的任意 x，总存在一个常数 T(T0)，,使得 f(xT)f(x)恒成立，则 T 是函数 yf(x)的一个周期,(1)若函数 yf(x)满足 f(xa)f(xa)(a0)，则 T2a 是它,的一个周期,(2)若函数 yf(x)满足 f(xa)f(x)(a0)，则 T2a 是它的,一个周期,(3)若函数 yf(x)满足 f(xa),1 f(x),(a0)，则 T2a 是它的,一个周期,(4)若函数 yf(x)满足 f(xa),1 f(x),(a0)，则 T2a 是它的一,个周期,1f(x) 1f(
9、x),(a0)，则 T2a 是它,(5)若函数 yf(x)满足 f(xa) 的一个周期,(6)若函数 yf(x)(xR)的图象关于直线 xa 与 xb 对称，,则 T2|ba|是它的一个周期,(7)若函数 yf(x)(xR)的图象关于点(a,0)与 xb 对称，则 T,4|ba|是它的一个周期,对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)或 f(x)f(x)，则称 f(x)为奇(偶)函数因此在讨论函数的奇偶性时， 应首先求函数的定义域，观察其定义域是否关于原点对称，若不 对称，则函数不具备奇偶性，为非奇非偶函数；只有定义域关于 原点对称，才有必要利用定义进一步研究其奇偶性,
