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1、8.2.1 幂级数及其收敛性,8.2.2 函数展开成幂级数,8.2 幂级数,第8章 级数,一般形式为,幂级数，,幂级数更一般的形式为,它显然可以通过变量代换 y = x - x0 方法化为式 .,一、幂级数及其收敛性,则称幂级 数为不缺项的，,否则称为缺项的幂级数.,例如幂级数,缺 x 的奇次幂，,叫缺项的幂级数，,又如,是不缺项的幂级数.,因为 它不一定是正项级数，,证,若将 x 看成 是一个确定的值，,那么就得到一个数项级数，,为此，我们可对幂级数的各项取绝对值，,得,这是一个正项级数.,运用比值审敛法.,因为,也就是说,显然，此时所给幂级数各项的绝对值越来越大，,由级数收敛的必要条 件可
2、知该幂级数发散.,可运用上述定理求收敛半径,例 2 试求幂级数,的收敛区间 .,解 所给的幂级数为不缺项的，,它是发散的.,此为调和级数，,例 3求幂级,解所给幂级数缺少 x 的奇次幂项，,对此正项级数利用比值审敛法,因此不能直接利用公式求收敛半径 R.,是一个缺项幂级数，,所求幂级 数绝对收敛 .,幂级数收敛 .,例 4,解运用正项级数的比值审敛法 .,区间端点处:,当 x = 0 时，,一、 麦克劳林 (Maclaurin) 公式,二、 直接展开法,三、 间接展开法,8.2.2、 函数的幂级数展开,泰勒 (Taylor) 公式 如果函数 f(x) 在 x = x0,有直到 (n + 1)
3、阶的导数，,则在这个领域内有如下公式 :,一、 麦克劳林(Maclaurin)公式,其中,称为拉格朗日型余项 . 式称为泰勒公式 .,就得到,式称为麦克劳林公式 .,幂级数,我们称之为麦克劳林级数 .,那么它是否以函数 f(x) 为和函数呢 ?,即,那么， 级数 收敛于函数 f(x) 的条件为,若令麦克劳林级数 的前n + 1 项和为,注意到麦克劳林公式 与麦克劳林级数 的关系，,可知,反之，若,必有,这表明，麦克劳林级数 以 f(x) 为和函数的充要条件，,这样，我们就得到了函数 f(x) 的幂级数展开式 ：,也表示了函数的 幂级数展开式是唯一的 .,它就是函数 f(x) 的幂级数表达式 .
4、,幂级数 :,称为泰勒级数 .,利用麦克劳林公式将函数 f(x) 展开成幂级数 的方法，称为直接展开法 .,解,例 1试将函数 f(x) = ex 展开成 x 的幂级数.,可以,得到,二、 直接展开法,因此我们可以得到幂级数,显然，这个幂级数的收敛区间为 (,+ ) .,因为,注意到，对任一确定的 x 值，,而级数 是绝对收敛的，,因此其一般项当 n 时，,所以，当,n 时,由此可知,因此有,解,于是可以得到幂级数,例 2 试将,且它的收敛区间为,因为所给函数的麦克劳林公式的余项为,所以可以推知,因此得到,解,而,所以根据幂级数可逐项求导的法则，,可得,例 3 试求函数,三、 间接展开法,因为
5、幂级数逐项积分后收敛半径不变，,所以，上式 右端级数的收敛半径仍为 R = 1;,故收敛域为 1 x 1 .,当 x = 1 时，该级数收敛 .,而当 x = 1 时该级,数发散，,解 因为,所以,且,根据幂级数和的运算法则，其收敛半径应取较小的一个，,故 R = 1，,因此所得幂级数的收敛区间为 1 x 1 .,解 令 x 1 = y ， 则 x = y + 1，,代入得,例 7 将函数,收敛区间为 (0 , 2) .,所以,因,例 8 试将函数,解,则原题就转化成,将函数,于是有,最后，我们将几个常用函数的幂级数展开式列在下面，,以便于读者查用 .,其端点的收敛 性与 m 有关.,最后一个式子称为二项展开式，,收敛区间为 1 , 1,例如当 m 0 时，,当 1 m 0 时，收敛区间为(1 , 1 .,
