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1、1,第五讲,积分学的概念、性质 和 不定积分的计算法,2,3-1 不定积分和定积分的概念与性质,一. 方法指导,积分学,不定积分,定 积 分,原函数的全体,原函数的增量,1. 原函数与不定积分的概念及性质 (P120 ,1 ),若,则F(x) 在I 上连续, 且,3,求积分,求导数,若,在区间 I 上连续,则,一定存在原函数,但不一定能用初等函数,形式表示.,例如 :,它们的原函数在某区间上都存在 , 但都不是初等函数 ,在定义区间内,初等函数,初等函数,因此不能用积分法求出来。,5,(左矩形公式),(右矩形公式),(梯形公式),6,(3) 利用定积分的性质估计积分值 .,方法: 关键是求出被
2、积函数在积分区间上的上下界, 或上下界函数,(若含参数, 则要保留含参项),(4) 利用积分中值定理计算平均值或去掉积分号.,3. 微积分基本定理之间的关系 ( P123,3 ),积分中值定理,微分中值定理,牛 莱公式,7,4. 变限积分求导及应用 ( P123,4 ),若,连续 ,可导, 则,注意: 若被积函数中含有求导变量 x 时,应先将其提,到积分号外,或通过换元将其转化到上下限后再求导.,例如,令,8,应用:,(1) 求含有积分号的极限时,用洛必塔法则去掉积分号.,(2) 通过求导将含积分号的积分方程转化为微分方程 .,5. 推广的积分中值定理,(积分第二中值定理),设,在,上可积且不
3、变号,则存在,使,( P135,2) (同济 P270 题14 ),证明思路:,想到用 介值定理,9,证明: 设 M , m 分别为,在,上的最大值,与最小值 ,不妨设,若,则,故对任意,结论都正确 ;,若,由连续函数介值定理可知,存在,使, 故定理成立 .,则,则,10,6. 反常积分,常义积分的极限,例如,当,为瑕点（奇点）时，,若,若,11,二. 实例分析,例1. 已知,试确定常数 A , B , K . ( P126 例2 ),解: 等式两边同对 x 求导, 得,比较同类项系数 , 得,说明: 类似可解 P199 题3 .,12,例2. 设,求,解:,13,解：将数列适当放大和缩小，以
4、简化成积分和：,已知,利用夹逼准则可知,( P480(8) ; 考研98 ),例3 求,14,练习：1、,2、计算,解,15,3、计算,2012考研,16,例4.,解: 设,所以 ，,17,例5 求,解: 令,原式,P29 例9,18,例6 设,且 f (x) 0 ,证明,证: 有已知条件可知,在0 , 1上可积 ,故有,是凸函数 ,(P127 例4),19,思考:,例7 求,( P129 例6(2) ),解:因为,时,所以,利用夹逼准则得,说明: 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项 .,作法对吗 ?,另法: 利用积分第二中值定理,原式 =,20,例8 求,解: 方法1.,由积分中值定理
5、知, 存在,使,方法2.,对,原式,21,例9 求,(P131 例8(2),解:,是以 为周期的周期函数 ,因此对任意,非负整数 n , 都有,(令 ),存在 n ,使,故,即,22,例9 求,(P131 例8(2),从而,由夹逼准则得,23,例10、1、计算,解 令,则,2、,；,为奇函数，,也是奇函数，原式= 0。,因为,24,5、由曲线,和直线,及,在第一象限所围图形的面积为 ；,解 三条曲线的交点分别为,则面积,2012考研,25,例11 设,试证:,(2) 当,时,证: (1),当0 x 1 时,因此 , 当0 x 1 时,两边在 0 , 1 上积分, 得,26,例11 设,试证:,
6、(2) 当,时,(2) 当,时,故,27,例12 设,且 f (x) 0 ,证明在 a , b 上,证: 用反证法.,假设存在,无妨设,为内点 ,由 f (x) 的连续性可知 , 存在邻域,在其上,则,与题设矛盾 !,所以假设不真 .,(“高数”上, P236 题12(1),推论: 设,且 f (x) 0 , 而,则,(反证法),28,例13 求,解:,设,(P124 例1),则,因,连续 ,得,得,利用,29,例14 设,解:,是,的一个原函数 ,若 x 0 时有,试求,30,例15. 设,且,求,并讨论它在 x = 0 处的,连续性 .,解: 由题设可知,令,得,型,31,例15. 设,且
7、,求,并讨论它在 x = 0 处的,连续性 .,故,在 x = 0 处的连续 .,32,例16. 求多项式 f (x) 使它满足方程,解: 令,则,代入原式得,两边对 x 求导, 去掉积分号,由此可知 f (x) 应为二次多项式 ,设,代入,*,*,式比较同次幂系数 , 得,故,33,例17 设,，则（）。,解 由,易知,令,则,2012考研,A、,B、,C、,D、,34,3-2 不定积分的计算法,一. 方法指导,1.求不定积分的基本方法,(1) 直接积分法,通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法 .,(2) 换元积分法,常见的换元积分类型见 P137 - P139,(代换
8、: ),35,(3) 分部积分法,使用原则:,1) 由,易求出,2),比,好求 .,一般经验 :按 “ 反,对,幂,指,三 ” 的顺序,排前者取为,排后者取为,推论:,36,2. 几种特殊类型的积分,(1) 可积函数的一般积分方法,有理函数,分解,多项式及 部分分式之和,指数函数有理式,指数代换,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,37,(2) 需要注意的问题, 一般方法不一定是最简便的方法,要注意 综合使用各种基本积分法, 简便计算 ., 使用积分表时注意公式条件., 初等函数的原函数不一定是初等函数 , 因此不一定都能积出. ( P123,5 ),38,二. 实例分
9、析,例1. 求,解:,原式,39,例2. 计算,解: 原式,40,例3. 求,解: 令,则,原式,41,例4. 求,解: 原式,( P145 例2(1) ),42,例5. 求,解: 方法1.,原式 =,方法2.,若,则,令,则,故 原式 =,P148例5,43,例6. 求,解: 令,则,原式 =,44,例7. 求,解:,( n 为自然数),令,则,45,例8 计算,2009考研,解,令,，则,因为,所以,46,例9. 求,解:,原式 =,47,例10. 求,解: 原式 =,48,例11. 求,解: 原式 =,49,例12. 求,解: 令,比较同类项系数, 故, 原式,说明: 此技巧也适于形为,的积分.,50,例13. 求,解: 设,利用原函数的连续性 ,令, 得,
