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1、第 1 章,微积分学基础,函数,极限,连续, 研究对象, 研究工具, 研究桥梁,函 数,第 1 章,1. 1. 2 集 合 与 实 数,1. 1. 3 函 数,1. 1. 1 常 量 与 变 量, 1 . 1,变量与函数,1. 1. 4 函 数 的 初 等 特 性,1.1.1 常 量 与 变 量,常量 ,变量 ,变域 ,在某一过程中不断变化着的量被称为该过 程,记作：,在某一过程中保持不变的量被称为常量,变量的变动范围（取值的全体）称为该变量的,记作：,的变量，简称为变量。,（常量视为变量的特殊形式）,变域，简称为变域 。,元素 a 属于集合 M , 记作：,元素 a 不属于集合 M , 记作
2、：,集合 具有某种特定性质事物或对象的全体。,元素 组成集合的事物或对象，简称为元。,空集 不含任何元素的集合，,记作 .,2. 集 合 的 定 义,记作 ： A ，等。,记作： a , m , x ，等。,3. 表 示 法,(1) 列举法：,按某种方式列出集合中的全体元素 。,例:,有限集,自然数集,(2) 描述法：,x 所具有的特征,例: 整数集,或,有理数集,与,实数集,x 为有理数或无理数,或,互质,把集合中元素所具有的特征描述出来：,则称 A 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A ,4. 集 合 之 间 的 关 系 及 运 算,定义1 .,若,且,则称 A 与 B 相等,例如 ：,
3、显然有下列关系 :,若,设有集合,记作：,记作：,必有,定义 2.,并集:,交集:,且,差集:,且,定义下列运算:,余(补)集:,直积:,特例:,表示 xoy 平面上的所有点之集。,或,x,y,o,给定两个集合 A, B,区间 ( Interval ),闭区间:,开区间:,半开半闭区间:,有限区间,无限区间,开区间:,点 a 的 邻域:,其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .,点 a 去心 邻域:,点 a 左 邻域 :,点 a 右 邻域 :,邻域 ( neighborhood ),1.1.3 函 数 ( Function ),则称该对应法则（关系） f 是 D 上的 一个函数，,若 y
4、 是多维变量，则称这种对应关系为矢量函数。,其中: x 称为自变量, y 称为函数（因变量) , D 称为函数的定义域。,1 .定义：,设 D 为一数集, x 与 y 是两个变量，,若对于任意的,按 照某一法则 (关系) f ,变量 y 都有确定的值与之对应,若变量 y 只有唯一的值与之对应，,则称之为单值函数(以后,我们主要研究这种函数) ;,若 D 是多维空间的子集，则称这种对应关系为多元函数；,否则称之为多值函数。,注:,函数 f 的定义域常记作:,x D ,记作 :,( Domain ), 值域 ；, 图象（曲线）;,2. 值 域 与 图 象,）水平平移：,将,向左平移 h 个单位,当
5、 h 0 时,将,向右平移,当 h 0 时,个单位,将,向上平移 h 个单位,当 h 0 时,将,向下平移,当 h 0 时,个单位,）垂直平移：,( Worth ),( Graph ),）放大与压缩,. 图象法；,3. 函 数 的 表 示 法,. 描述法 ；,. 表格法；,. 公式法。,将,纵向放大 k 倍,当 k 1 时,将,纵向压缩 k 倍,当 0k 1 时,注意：,(1) 函数由其对应法则 f 及其定义域,唯一确定；,(2) 函数的表示法与所选字母无关；,(4) 定义域,客观（实际）定义域,理论（自然）定义域,(3) 有时函数也记作：,或,或,1.1.4 函数的几初等性质,设函数,且有区
6、间,(1) 有界性,都有,都有,显然 ，,为有界函数;,在区间I 上有界。,使得,若对任意正数 M ,则称函数,有上界;,有下界;,都有,都有,称,称,称,称,有界等价于其既有上界又有下界 。,函数,无界。,总有,(2) 单调性,时,称,在区间 I 上单调增（不减） ；,称,在 区间I 上单调减（不增） ；,当,称,在区间 I 上严格单调增 ；,称,在区间 I 上严格单调减 。,o,o,y,x,定义 ：,(3) 奇偶性,必有,若,则称 f (x) 为偶函数;,若,则称 f (x) 为奇函数。,说明:,偶函数的图形关于 y 轴对称；,例如：,当 n 为偶数时,偶函数,奇函数,当 n 为奇数时,设
7、,关于原点对称，,奇函数的图形关于原点对称。,定义：,即,(4) 周期性,且,则称 f ( x ) 为周期函数 ,若,称 T 为 f ( x ) 的一个周期。,周期为 ,周期为,显然，若 T 是 f ( x ) 的一个周期限，,总有,定义：,注: 并非周期函数都有基本周期,例如 ：,狄里克雷函数,x 为有理数,x 为无理数,例如：,是以2为基本周期；,是以为基本周期；,常量函数,若周期函数 f ( x ) 有一个最小的周期,则称,为 f ( x ) 的基本周期。,(以任意正实数为周期),（以任意正有理数为周期）,第 1 章,1. 2. 2 复 合 函 数,1. 2. 3 反 函 数,1. 2.
8、 1 函 数 的 四 则 运 算, 1 . 2 函数运算 初等函数,1. 2. 4 初 等 函 数,1.2.1 函数的四则运算,设, 和、差运算 ：, 乘积运算：, 商运算：,奇、偶函数的四则运算表：,如：,（奇）,（偶）,（奇）,又如：,(奇函数),双曲正弦,再如,(奇函数),双曲正切,机动 目录 上页 下页 返回 结束,双曲余弦,(偶函数),(sine hyperbolic),(cosine hyperbolic),(tangent hyperbolic),1.2.2 复合函数,设,变量 y 必有唯一确定的值,对应法则是以 u 为中间变量， x 为自变量的 复合函数 。,或,定义:,且,若
9、,由,与之对应，,则称这种,记作：,若,则称该函数,当,时，有,为可逆函数 。,1.2.3 反 函 数,设,函数为原来函数,必有唯一满足条件：,也就是说定义了一个以,记作：,为其定义域的函数，,为一可逆函数 ，,的 反函数 。,的 x 与之对应，,若,则称这一,设,定义：,or,注：有时也称,与,互为反函数。,显然，,的图象与其反函数,的图象是关于直线,对称的 （如右图所示）.,例如 ：,对数函数 ：,互为反函数 ,它们都单调递增,指数函数 ：,的图象是同一条曲线，,而与函数,函数,即,例 ：,的反函数及其定义域.,解:,当,时,则,当,时,则,当,时,则,反函数,定义域为,求函数,1. 2.
10、 4. 初 等 函 数,(1) 基本初等函数,幂函数、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三角函数,(2) 初等函数,由常数及基本初等函数，,否则称为非初等函数 .,例如 ,并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和复合步骤,所构成 ,称为初等函数 .,可表为,故为初等函数.,又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .,非初等函数举例:,符号函数,当 x 0,当 x = 0,当 x 0,取整函数,当,内容小结,1. 集合、区间与邻域的概念,定义域 对应规则,3. 函数的特性,有界性，单调性，（局部性） 奇偶性，周期性。（整体性）,4. 初等函数的结构,作业： 练习册； 教材： 习题1.1；1.2,2. 函数的定义及函数的二要素,
