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1、第二章 拉普拉斯变换,1 拉普拉斯变换的定义,1、原象函数和象函数,例2-1：求单位函数 的象函数。,解：,例2-2：求 的象函数( 为复常数),解：,2、拉普拉斯的存在定理,(1) 及其 阶导数,当 时是单值连续或者 是分段连续的,称满足上述条件的原象函数 为 类，记作,关于实变量 的函数 满足下列条件,(2)当 时， 的增长速度不超过某一指数函数 即存在常数 ,使 。(满足此条件 的函数称它的增长是指数级的, 为它的增长指数)。,本书中，为了记号方便，象函数和原象函数之间的对应符号用 表示并记作 或,3、象函数的基本性质,(1) 唯一性定理,如果,并且,则对应的原象函数在除去可能有的间断点
2、以外所有点上相等 即,(2)象函数的解析性定理,由存在性定理可知，象函数 当 时是解析函数，即它可以展成幂级从而在级数的收敛域内可微分或积分任意次.,(3) 线性性,如果,并且,则,(4),4、几个简单函数的象函数,1. 单位函数 的象函数,由例2-1知，,2. 指数函数 的象函数,由例2-2知，,3. 三角函数的象函数,4. 双曲函数的象函数,2 拉普拉斯变换的性质,(1)原象函数的微分性,证,1、微分性,若,则,例2-3：已知 ,求 的象函数,解,特别当 时，有,一般地，对任意的自然数 ，若 ,则有,例2-4：用微分性求 的象函数,解,即,(2)象函数的微分性,若 ，,一般地,由存在性定理
3、证明即可得出结论,例：求,同理,则,例2-5求 (k为实数) 的象函数,2、积分性,若 ，,证,反复利用积分性质可得,(1)原象函数的积分性,则,例：求 的象函数,解,(2)象函数的积分性,则,例2-6：求 的象函数,解,若 ，,3、相似定理,若 ，且 ，则对任意的常数 总有,证,令,则,例2-7： 试求 的象函数,解：,4、延迟性(关于时间t的位移性质),若 ,又 时， ，则,对任一非负实数 ,有,证,由于,将函数 与 相比， 是从 开始 有非零值的，而 是从 开始有非零值的 即延迟了一个时间 ，从图象上看 的图象 是由 的图象沿 轴向右平行移动 所得到。延 迟性表明，时间函数延迟 的拉普拉
4、斯变换等于它的 象函数乘以因子 。,例2-8 求 的象函数,解法1：,因,利用线性性得到,解法2：,令,而,于是有,借助于延迟性定理,大家想一下，解法1和解法2哪个是正确的？为什么？,注意：延迟性定理的确切表达或者是不容易产生误解的表达应如下,若,则,1,t,O,已知,于是由延迟性定理知,例2-9：求如图所示波形的象函数,1,1,解：已给波形的表达式为,可以把波形看成是下图虚线所示的两个波形相减而得,1,1,已知,由延迟性,5、周期函数的象函数,设 是 内以 为周期的函数，且 在一周期内逐段光滑，则,例2-11 求函数 的象函数,解：,是以 为周期的周期函数,令,同时,由于,所以,6、逐段连续或者逐段光滑函数的象函数,例2-12 求函数 的象函数,3,1,解：由图象知,例2-13 求函数 的象函数,解：由图象知,因而,例2-14 求函数 的象函数,解：由图象知,因而,例2-15 求函数 的象函数,解：由图象知,因而,例8：求如图所示阶梯函数的拉氏变换,解,当 时,7、阶梯函数的象函数,8、关于 的位移性质,如果 且 ，则对任意的复常数,证明：事实上,例2-16 求下列函数的象函数,解：(1) 由于,由位移性质,再由原象函数的微分性质,解：(2) 由于,由象函数的微分性质,再由位移性质,
