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1、,第七章,山东交通学院高等数学教研室,第四节 一阶线性微分方程,一阶线性微分方程,1. 齐次微分方程的解法,2. 非齐次微分方程的解法,一阶线性微分方程标准形式:,若 Q(x) 0,称为非齐次方程 .,称为齐次方程 ;,一、一阶线性微分方程,解: 先解,例1. 解方程,分离变量得,积分得,即,而非齐次方程的通解为,1. 解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,一阶线性微分方程标准形式:,例1. 解方程,解: 先解,即,积分得,即,用常数变易法.,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,令,例2. 解方程,解: 先解,即,积分得,即,用常数变易法.,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为
2、,令,解: 先解,即,代入非齐次方程得,解得,令,练习,7-4 1.(3),两端积分得,整理得,再用常数变易法求非齐次方程的通解，,故原方程通解为,解: 先解,分离变量得,代入非齐次方程得,解得,令,7-4 1.(9),两端积分得,整理得,再用常数变易法求非齐次方程的通解，,故原方程通解为,解:,分离变量得,代入非齐次方程得,解得,令,7-4 1.(10),两端积分得,整理得,再用常数变易法求非齐次方程的通解，,故原方程通解为,先变形为,一阶线性微分方程,先解,分离变量得,代入非齐次方程得,解得,令,两端积分得,整理得,再用常数变易法求非齐次方程的通解，,故原方程通解为,例3. 解方程,解:
3、（法一）,变形为,先解,此为一阶线性微分方程,左右两端分别积分即可,例3. 解方程,解: （法二）,设,分离变量得,此为可分离变量的微分方程,则,则原方程变为,即,练习,7-4 7.(2),分离变量得,两边积分得,u 代入得原方程通解为,设,则,解:,则原方程变为,即,7-4 7.(3),原方程变形为,设,解:,则原方程变为,分离变量得,可分离变量,两端积分得,即,即,或,内容小结,1. 一阶线性方程,方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法.,方法2 用通解公式,2. 注意用变量代换将方程化为已知类型的方程,例如, 解方程,法1. 取 y 作自变量:,线性方程,法2. 作变换,则,思考与练习
4、,判别下列方程类型:,提示:,可分离 变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,备用题,1. 求一连续可导函数,使其满足下列方程:,提示:,令,则有,线性方程,利用公式可求出,2. 设有微分方程,其中,试求此方程满足初始条件,的连续解.,解: 1) 先解定解问题,利用通解公式, 得,利用,得,故有,2) 再解定解问题,此齐次线性方程的通解为,利用衔接条件得,因此有,3) 原问题的解为,伯努利方程的标准形式:,令,求出此方程通解后,除方程两边 , 得,换回原变量即得伯努利方程的通解.,解法:,(线性方程),伯努利,二、伯努利 ( Bernoulli )方程,例4. 求方程,的通解.,解: 令,则方程变形为,其通解为,将,代入, 得原方程通解:,( 雅各布第一 伯努利 ),书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(1654 1705),瑞士数学家,位数学家.,标和极坐标下的曲率半径公式,1695年,版了他的巨著猜度术,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.,年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多,1694年他首次给出了直角坐,1713年出,这是组合数学与概率论史,此外, 他对,双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 .,
