《63一阶线性幻灯片资料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《63一阶线性幻灯片资料（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,一阶线性微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第三节,一、一阶线性微分方程,二、伯努利方程,第七章,一、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式:,若 Q(x) 0,称为一阶线性非齐次微分方程 .,1. 解一阶线性齐次微分方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为一阶线性齐次微分方程 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2. 解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 解方程,解：原方程变为,即,故由公式得,即,（c为任意常数,为方程的通解。,例3. 解
2、方程,解: 先解,即,积分得,即,用常数变易法求特解. 令,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,例4.,每年0.5%的速度连续增长,同时该公司每年要以300百万元,解: (1) 根据平衡法,有:,某公司t年净资产有W(t)(百万元),并且资产本身以,的数额连续支付职工工资.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1)给出描述净资产W(t)的微分方程,(2)求解方程,这时假设初始净资产为W0.,(3)讨论W0=500,600,700时, W(t)的变化特点.,净资产增长速度,=净资产本身增长速度职工工资支付速度,由此得所求微分方程,由初始条件,解法1 (2)为一阶线性方程，由公式,得特解
3、,则,由初始条件,解法2 (2)将方程变形为,得特解,分离变量,积分得,所以,(3)由微分方程的特解,可知当,时,此解为平衡解,当,时,公司净资产单调递减;,当,时,公司收支平衡,资产保持600万不变,当,时,公司净资产按指数增加.,二、伯努利 ( Bernoulli )方程,一阶线性方程,伯努利 目录 上页 下页 返回 结束,一阶线性齐次方程,伯努利方程,令,求出此方程通解后,除方程两边 , 得,换回原变量即得伯努利方程的通解.,解法:,(线性方程),伯努利 目录 上页 下页 返回 结束,伯努利方程,例3. 求方程,的通解. (P299 例5),解: 令,则方程变形为,其通解为,将,代入,
4、得原方程通解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 求方程,的通解 .,解: 注意 x, y 同号,由一阶线性方程通解公式 , 得,故方程可,变形为,所求通解为,内容小结,1. 一阶线性方程,方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法.,方法2 用通解公式,化为线性方程求解.,2. 伯努利方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 注意用变量代换将方程化为已知类型的方程,例如, 解方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,法1. 取 y 作自变量:,线性方程,法2. 作变换,则,代入原方程得,可分离变量方程,思考与练习,判别下列方程类型:,提示:,可分离 变量方程,齐次方程,线性方程
5、,线性方程,伯努利方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,1. 求一连续可导函数,使其满足下列方程:,提示:,令,则有,利用公式可求出,学习过程模型,求解得该初值问题的解为,考虑一个人掌握一项新知识的学习过程.一种理论认为，对一项工作，一个人学得越来越多时，他学的就会越来越慢，换句话说，如以y%表示已经掌握了这项工作的百分数，以 表示学习速度，那么 将随y的增长而下降.假设学习时间t=0时，y=0，依题意有,P301 1 (3) , (5) , (7) ; 2 (1) ; 3 ; 6 (1) , (3) ；7（1），（3）,作业,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,( 雅各布第一
6、伯努利 ),书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(1654 1705),瑞士数学家,位数学家.,标和极坐标下的曲率半径公式,1695年,版了他的巨著猜度术,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.,年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多,1694年他首次给出了直角坐,1713年出,这是组合数学与概率论史,此外, 他对,双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 .,在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0,例2. 有一电路如图所示,电阻 R 和电,解: 列方程 .,已知经过电阻 R 的电压降为R i,经过 L的电压降为,因此有,即,初始条件:,由回路电压定律:,其中电源,求电流,感 L 都是常量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解方程:,由初始条件:,得,利用一阶线性方程解的公式可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此所求电流函数为,解的意义:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
