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1、主 要 内 容,二 重 积 分,定 义,几何意义,性 质,计算法,应 用,二重积分的定义,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时,二重积分是柱体的体积的负值,性质,若在D上,特殊地,则有,性质,性质,二重积分的计算,X型,()直角坐标系下,Y型,()极坐标系下,D :,D :,D :,注意:,当被积函数为,积分区域是圆或,圆的一部分时,在极坐标系下化为二次积分, 常可简化计算。,二重积分的应用,(1) 体积,设S曲面的方程为:,曲面S的面积为,(2) 曲面积,(3) 重心,当薄片是均匀的,重心称为形心.,薄片对 z 轴上单位质点的引力,G 为引力常数,
2、(4) 引力,思考与练习,1.,2. 改变下列二次积分的积分次序:,1.,解,D 是 Y型。,将 D 向 y 轴投影。,求交点:,于是,,D 是 X型。,将 D 向 x 轴投影。,得,求交点:,在极坐标系中,闭区域,D 可表示为,于是,,在极坐标系中,D 可表示为,2. 改变下列二次积分的积分次序:,解,(1) 积分区域为,将 D 向 y 轴投影。,积分区域为,将 D 向 x 轴投影,3.,4.,5.,6.,7.,3.,解,D 是 X型。,将 D 向 x 轴投影。,解,先去掉绝对值符号,,4.,5.,解,积分区域为,将 D 向 y 轴投影。,解,6.,在极坐标系中,闭区域,D 可表示为,证,7.,积分区域为,将 D 向 y 轴投影。,8.,10.,9.,8.,解,所求立体可以看成是一个 曲顶柱体,它的曲顶为,底为,于是,,9.,解,平面方程,所求面积,所求面积,10.,解,所求表面分成和,如图。,第一块( )在半球面,第一块( )在锥面,记为 A。,记为 A 。,由,由,因此,曲面和在 xoy 面上 的投影区域均为圆域:,A的曲面方程为,Dxy 极坐标系下表示:,A,A的曲面方程为,A,A,A,A 的曲面方程为,所求面积 A = A+ A,