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1、,问题的提出,实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.,2.5 函数的微分,再例如,既容易计算又是较好的近似值,问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?,一、微分的定义,定义: 设函数y=f (x)在某区间I内有定义, x0及x0+x在区间I内, 如果存在与x无关的常数A, 使得 y = f (x0+x) f (x0) = Ax + o(x) 成立, 则称函数y=f (x)在点x0处可微, 并且称Ax为函数y=f (x)在点x0处相应于自变量增量x的微分, 记作,d y, 即d y = Ax.,微分d y叫作函数增量y的线性主部微分的实质.,定理表明:
2、 可导可微, 且f (x0)=A.,在f (x0)0的条件下, 当x0时, yd y, 且yd y既是x的高阶无穷小, 又是d y的高阶无穷小. 因此d y也是y的主要部分.,由于自变量对自己的导数等于1, 所以通常把自变量的增量x称为自变量的微分, 记作d x, 即d x=x.,所以, dy=f (x)dx. 从而,即函数的微分d y与自变量的微分d x之商就等于该函数的导数, 因此导数也叫做“微商”.,三、微分的几何意义,M,),N,则y是曲线C上关于点M的纵坐标的增量,当|x|很小时, 在点M的附近用切线的增量近似代替曲线的增量.,设曲线C的方程为y=f (x), 曲线C上的点M处有切线
3、.,M点处的切线对应点M的纵坐标的增量.,而d y是曲线C在,四、微分的求法,求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.,1.基本初等函数的微分公式,2. 函数和、差、积、商的微分法则,3. 复合函数的微分法则,结论: 无论x是自变量还是中间变量, 函数 y=f (x)的微分形式总有:,一阶微分形式 的不变性,例3:,例4:,例5:,例6:,例1:,例2:,1. 函数的近似计算,（3）计算 附近的函数值,（2）计算增量的函数值,即,(4) 在(3)式中取 ,且x 接近0,于是得,五、微分在近似计算中的应用,（1）计算增量,使用原则:,应用(4)式可得以下公式(下面都假定 是较小的数值),六、
4、小结, 微分学所要解决的两类问题:,函数的变化率问题,导数的概念,函数的增量问题,微分的概念,求导数与微分的方法,叫做微分法., 导数与微分的联系: 可导可微,1. 函数f (x)在点x0处的导数是一个数值f (x0); 而函数f (x)在点x0处的微分dy=f (x0)x=f (x0)(xx0)是x或x的一个线性函数. 2. 从几何意义上看,导数f (x0)是曲线 y=f (x)在点M(x0,f(x0)处切线的斜率; 而微分dy=f (x0)x是曲线 y=f (x)在点M(x0,f(x0)处切线上纵坐标的增量., 导数与微分的区别:,思考与练习,1. 设,求,解: 利用一阶微分形式不变性 , 有,2. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:,3.,6. 设,由方程,确定,解:,方程两边求微分,得,当,时,由上式得,求,7. 已知,求,已知,求,8.,思考题,因为一元函数 y=f (x)在点x0的可微性与可导性是等价的, 所以有人说“微分就是导数, 导数就是微分”,这种说法对吗？,思考题解答,说法不对.,从概念上讲, 微分是从求函数增量引出线性主部而得到的, 导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限, 它们是完全不同的概念.,
