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1、数列的应用,典型例题,解: 设第二个数为a, 则第三个数为 12-a.,前三个数成等差数列,第一个数为 3a-12.,从而第四个数为16-(3a-12)=28-3a.,依题意得: (12-a)2=a(28-3a).,化简整理得 a2-13a+36=0.,解得 a=4 或 9.,这四个数分别为 0, 4, 8, 16 或 15, 9, 3, 1.,1.有四个数, 前三个数成等差数列, 后三个数成等比数列, 并且第一个数与第四个数的和是 16, 第二个数与第三个数的和是 12, 求这四个数.,a2=1 从而 a1=1-d, a3=1+d.,整理得 4(2d)2-17(2d)+4=0.,故 an=2
2、n-3 或 an=-2n+5.,解得 2d=22 或 2-2.,d=2 或 -2.,当 d=2 时, an=a2+(n-2)d=1+2n-4=2n-3;,当 d=-2 时, an=a2+(n-2)d=1-2n+4=-2n+5.,解: (1)由已知数列 an+1-an 是首项为 -2, 公差为 1 的等差数列.,an+1-an=(a2-a1)+(n-1)1=n-3.,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1),an-an-1=n-4(n2).,=6+(-2)+(-1)+0+1+2+(n-4),而 a1=2 亦适合上式,解: (2)显然当 k=1, 2, 3 时, ak-bk=
3、0, 不适合题意;,数列 ak 是递增数列, bk 是递减数列.,数列 ak-bk 是递增数列.,5.已知等比数列 an 的各项均为正数, 公比 q1, 数列 bn 满足 b1=20, b7=5, 且 (bn+1-bn+2)logma1+(bn+2-bn)logma3+(bn-bn+1) logma5=0. (1)求数列 bn 的通项公式; (2)设 Sn=|b1|+|b2|+|bn|, 求 Sn.,解: (1)将 logma3=logma1+2logmq, logma5=logma1+4logmq 代入已 知等式整理得:,2(bn-2bn+1+bn+2)logmq=0.,bn-2bn+1+b
4、n+2=0.,q1, logmq0.,即 bn+bn+2=2bn+1.,数列 bn 是等差数列.,设其公差为 d,则由 b7=b1+6d 可得 d=,解: (2)令 bn=0, 得 n=9.,当 n9 时, bn0.,当 n9 时, bn0, 有:,Sn=b1+b2+b9-b10-b11-bn,=2(b1+b2+b9)-(b1+b2+bn),5.已知等比数列 an 的各项均为正数, 公比 q1, 数列 bn 满足 b1=20, b7=5, 且 (bn+1-bn+2)logma1+(bn+2-bn)logma3+(bn-bn+1) logma5=0. (1)求数列 bn 的通项公式; (2)设
5、Sn=|b1|+|b2|+|bn|, 求 Sn.,(1)证: 由 an=3n-1-2an-1 知:,(2)解: 由 anan-1 及 an=3n-1-2an-1 知: an-an-1=3n-1-3an-10.,an-13n-2 .,an+1-an=3n-3an=3n-3(3n-1-2an-1)=6an-10.,0an-13n-2 .,(Sk)2=Sk2,kN*, k=4.,满足 (Sk)2=Sk2 的正整数 k 的值是 4.,整理得 k3(k-4)=0.,解: (2)设 an 的公差为d, 则在 (Sk)2=Sk2 中分别取 k=1, 2 得:,(S1)2=S1 且 (S2)2=S4 .,即
6、(a1)2=a1 且 (2a1+d)2=4a1+6d.,解得 a1=0, d=0 或 a1=0, d=6 或 a1=1, d=0 或 a1=1, d=2.,若 a1=0, d=0,则 an=0, Sn=0,(Sk)2=Sk2 成立;,若 a1=0, d=6,则 S3=18, S9=216,(S3)2S9;,若 a1=1, d=0,则 an=1, Sn=n,(Sk)2=Sk2 成立;,若 a1=1, d=2,则 an=2n-1, Sn=n2,(Sk)2=Sk2 成立;,综上所述, 共有三个满足条件的等差数列:,an: an=0, 即 0, 0, 0,;,an: an=1, 即 1, 1, 1,;
7、,an: an=2n-1, 即 1, 3, 5,.,解: (1)由已知可设等比数列 an 的公比为 q, 依题意得:,an=22n-1=2n.,即 an 的通项公式为 an=2n.,-Sn=12+222+323+n2n.,-2Sn=122+223+324+n2n+1.,Sn=2+22+23+2n-n2n+1,=2n+1-2-n2n+1.,为使 Sn+n2n+130 成立, 应有 2n+132.,n4.,使 Sn+n2n+130 成立的 n 的最小值为 5.,Sn=-(12+222+323+n2n).,9.以数列 an 的任意相邻两项为坐标的点 Pn(an, an+1)(nN*)均在一次函数 y
8、=2x+k 的图象上, 数列 bn 满足条件: bn=an+1-an (nN*, b10). (1)求证: 数列 bn 是等比数列; (2)设数列 an, bn 的前 n 项和分别为 Sn, Tn, 若 S6=T4, S5=-9, 求 k 的值.,(1)证:Pn(an, an+1) (nN*) 均在一次函数 y=2x+k 的图象上,an+1=2an+k, 即: an+1+k=2(an+k).,又 bn=an+1-an=an+k, 则 bn+1=an+1+k,数列 bn 是等比数列.,解得: k=8.,(2)解: b1=a1+k, bn=(a1+k)2n-1, an=bn-k=(a1+k)2n-
9、1-k,S6=T6-6k=(a1+k)(26-1)-6k=63a1+5k,T4=(a1+k)(25-1)=15(a1+k),S5=31a1+26k=-9,10.(1)已知数列 cn, 其中 cn=2n+3n, 且数列 cn+1-pcn 为等比数列, 求常数 p; (2)设 an, bn 是公比不相等的两个等比数列, cn=an+bn, 证明: 数列 cn 不是等比数列.,(1)解: 数列 cn+1-pcn 为等比数列,(cn+1-pcn)2=(cn+2-pcn+1)(cn-pcn-1).,又 cn=2n+3n,2n+1+3n+1-p(2n+3n)2 =2n+2+3n+2-p(2n+1+3n+1
10、)2n+3n-p(2n-1+3n-1).,即(2-p)2n+(3-p)3n2 =(2-p)2n+1+(3-p)3n+1(2-p)2n-1+(3-p)3n-1.,解得 p=2 或 3.,(2)证: 设 an, bn 的公比分别为 p, q, pq.,为证 cn 不是等比数列, 只须证 c22c1c3.,事实上,c22=(a1p+b1q)2=a12p2+b12q2+2a1b1pq,c1c3=(a1+b1)(a1p2+b1q2)=a12p2+b12q2 +a1b1(p2+q2).,pq, p2+q22pq.,又 a1, b1 不为零,c22c1c3.,故 cn 不是等比数列.,11.设等比数列 an
11、 的各项为实数, 前 n 项的和为Sn, 公比为q. (1)若 S5, S15, S10 成等差数列, 求证: 2S5, S10, S20-S10 成等比数列; (2)若 2S5, S10, S20-S10 成等比数列, 试问若 S5, S15, S10一定成等差数列吗? 请说明理由.,(1)证: 由已知q1(若 q=1, 则 S5=5a1, S15=15a1, S10=10a1, 不满足 S5, S15, S10 成等差数列).,S5+S10-2S15=0.,t(1-q5+1-q10-2+2q15)=0.,即 tq5(2q10-q5-1)=0.,tq50,2q10-q5-1=0.,以下有两种
12、证法:,2S5, S10, S20-S10 成等比数列.,法2: 1+q5=2q10.,2S5, S10, S20-S10 成等比数列.,(2)解: 不一定成立.,例如 q=1 时, 显然 2S5, S10, S20-S10 成等比数列,但 S5, S15, S10 不成等差数列.,11.设等比数列 an 的各项为实数, 前 n 项的和为Sn, 公比为q. (1)若 S5, S15, S10 成等差数列, 求证: 2S5, S10, S20-S10 成等比数列; (2)若 2S5, S10, S20-S10 成等比数列, 试问若 S5, S15, S10一定成等差数列吗? 请说明理由.,12.
13、设数列 an 的前 n 项和为 Sn, 若 Sn 是首项为 S1 各项均为正数且公比为q 的等比数列. (1)求数列 an 的通项公式 an (用 S1 和 q 表示); (2)试比较 an+an+2 与 2an+1 的大小, 并证明你的结论.,解: (1)由已知 Sn=S1qn-1(q0).,当 n=1 时, a1=S1; 当 n2 时, an=Sn-Sn-1=S1(q-1)qn-2.,(2)当 n=1 时, a1+a3-2a2=S1+S1(q-1)q-2S1(q-1),=S1(q2-3q+3)0.,a1+a32a2;,当 n2 时, an+an+2-2an+1=S1(q-1)qn-2+S1
14、(q-1)qn-2S1(q-1)qn-1,S10, qn-20,当 q=1 时, (q-1)3=0an+an+2-2an+1=0an+an+2=2an+1;,=S1(q-1)3qn-2.,当 0q1 时, (q-1)30an+an+2-2an+10an+an+22an+1;,当 q1 时, (q-1)30an+an+2-2an+10an+an+22an+1.,综上所述, 当 n=1 时, a1+a32a2;,当 n2 时, 若 q=1, 则 an+an+2=2an+1;,若 0q1, 则 an+an+22an+1;,若 q1, 则 an+an+22an+1.,13.下表给出一个 “三角形数阵”
15、 : 已知每一列的数成等差数列, 从第三行起每一行的数成等比数列, 每一行的公比 都相等. 记第 i 行第 j 列的数为 aij (ij, i, jN*).,(1)求 a83;,(2)写出 aij 关于 i, j 的表达式;,(3)记第 n 行的和为 An, 求数列 An 的前 m 项和 Bm 的表达式;,解: (1)依题意 ai1 成等差数列.,14.设各项均为正数的数列 an 和 bn 满足 5an, 5bn, 5an+1 成等比数列, lgbn, lgan+1, lgbn+1 成等差数列, 且 a1=1, b1=2, a2=3, 求通项 an, bn.,解: 5an, 5bn, 5an+
16、1 成等比数列,(5bn)2=5an5an+1, 2bn=an+an+1.,又lgbn, lgan+1, lgbn+1 成等差数列,又由 lgb1, lga2, lgb2 成等差数列, 且 b1=2, a2=3 得:,又 a1=1 亦适合上式,(1)证: 设等比数列 an 的公比为 q, 由题设知 a10, q0.,当 q=1 时, Sn=na1,SnSn+2-Sn+12=na1(n+2)a1-(n+1)2a12,=-a120;,=-a12qn0.,SnSn+2-Sn+120.,SnSn+2Sn+12.,lgSnSn+2lgSn+12.,lgSn+lgSn+22lgSn+1.,=-a120;,=(na1-c)(n+2)a1-c-(n+1)a1-c2,条件 不成立, 即不存在常数 c0, 使结论成立.,当 q1 时, (Sn-c)(Sn+2-c) -(Sn+1-c)2,当 q=1 时, (Sn-c)(Sn+2-c) -(Sn+1-c)2,=
