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1、, 一元微积分学,大 学 数 学(一),第十九讲 微分中值定理,第四章 一元函数的导数与微分,本章学习要求: 理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可 导、可微、连续之间的关系。 熟悉一阶微分形式不变性。 熟悉导数和微分的运算法则,能熟练运用求导的基本公式、 复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程 求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微 分。 了解 n 阶导数的概念,会求常见函数的 n 阶导数。 熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰 勒中值定理,并能较好运用上述定理解决有关问题(函数方 程求解、不等式的证明等)。 掌握罗必塔法则并能熟练运
2、用它计算有关的不定式极限。,第五节 微分中值定理,第四章 一元函数的导数与微分,二. 费马定理,三. 罗尔中值定理,四. 拉格朗日中值定理,五. 柯西中值定理,一. 引言,六. 三个中值定理的关系,函数导数的定义为,导数与差商,我们常常需要从函数的导数所给出 的局部的或“小范围”性质, 推出其整体的 或“大范围”性质. 为此, 我们需要建立函 数的差商与函数的导数间的基本关系式, 这些关系式称为“微分学中值定理”. 这些中值定理的创建要归功于费马、 拉格朗日、柯西等数学家.,首先, 从直观上来看看,“函数的差商与函数的导数间的基本关系式”,是怎么一回事.,导数与差商,相等!,将割线作平行移动,
3、 那么它至少有一次会,达到这样的位置:,在曲线上与割线距离最远的那一点P 处成,为切线, 即在点P 处与曲线的切线重合.,该命题就是微分中值定理.,极值的定义,二. 费马定理,可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在该点的导数值为零.,定理,点击此处可了解费马,Pierre de Fermat (16051665),费尔马是法国数学家。 1801年 8 月出生于法国南 部图卢兹附近的博蒙 德 洛马涅,1665年 1 月卒于 法国喀斯特尔。,费尔马出生于皮革商人家庭,他的祖父、父亲、叔父 都从事商业工作。他的父亲还是当地的第二执政官,经 办了一个生意兴隆的皮革商行。他的母亲曾在长袍贵族 议会中
4、任职。费尔马于1631年6 月和他母亲的堂妹结婚, 生育了两个儿子和三个女儿。 费尔马在家乡度过了他的童年和少年时代,在家乡读 完中学后,进了图卢兹大学。在 17 世纪 20 年代后期, 费尔马曾在波尔多渡过了相当长一段时间。在这段时间内, 他对数学产生了兴趣,并深入地研究过韦达的著作。,1631年5 月,费尔马获得奥尔良大学民法学士学 位,并以律师为职业。曾任图卢兹议会的议员,享有 长袍贵族特权。他不但有丰富的法律知识,而且是一 个博览群书、识多见广的学者。费尔马精通法语、意 大利语、西班牙语、拉丁语、希腊语,这使得他能深 入钻研阿基米德、丢番图、帕普斯等人的古典数学著 作。他在研究几何的过
5、程中,发现了解析几何原理; 他是创建微积分的先驱;他与帕斯卡共同开创了概率 论的早期研究;他是近代数论的开拓者。,费尔马性情谦抑,好静成癖。他固执地拒绝编辑他的 研究成果或以他的名字公开发表。他往往将数学的研究成 果以不给出证明的形式写在他阅读过的书籍的边缘空白处; 或写在给朋友的书信中;或者干脆随意丢在旧纸堆中。费 马对自己已研究过的问题不再感兴趣,所以,往往对研究 的结果不留底稿或记录。费尔马生前发表的几篇文章都是 在他要求匿名,且不作详细解释的条件下发表的。这种个 性使得费尔马的研究不能扬名于世,不能推动当时数学学 科的发展,同时也使得他晚年的研究工作脱离了数学发展 的主流。知道费尔马去
6、世后,他的成果才由后人整理发表。,进入19世纪中叶,由于对数论的重新研究,数学家和 数学史专家对费尔马及其著作都产生了浓厚的兴趣,世人 也争先发表和研究费尔马的著作。 费尔马在研究丢番图的“算术”时,在读到拉丁文翻译 本的第二卷上第八题:“将一个平方数分为两个平方数”时, 在书页的空白处写道 “另一方面,将一个立方数分为两个 立方数,一个四次幂分为两个四次幂,或者一般地将一个 高于二次的幂分为两个同次幂,是不可能的。对此,我已 发现了一种美妙的证法,可惜这里的地方太小,写不下。” 这个“写不下的证明”就是后来闻名于世的“费尔马大定理”。,费马定理的几何解释,如何证明?,则有,于是,(极小值类似
7、可证),证,但是,不保证在内部!,水平的,可保证在内部一点取到极值,三. 罗尔中值定理,设,则至少存在一点,定理,实际上, 切线与弦线 AB 平行.,最小值至少各一次.,证,最小值至少各一次.,由费马定理可知:,证,其中,综上所述,连续,可微,端点函数值相等,证,由罗尔定理, 至少存在一点,分析问题的条件, 作出辅助函数是证明的关键 .,且满足罗尔定理其它条件,证,想想, 看能不能找到证明的方法.,证,则由已知条件可知:,该矛盾说明命题为真 .,证,证,引理 1,达布中值定理,达布中值定理,费马定理的一种推广,证明引理1,证明达布中值定理,请自己完成!,如何描述,这一现象,四. 拉格朗日中值定
8、理,1. 拉格朗日中值定理,2. 推论1,3. 推论2,4. 推论3,5. 推论4,6. 推论5,设,则至少存在一点,定理,1. 拉格朗日中值定理,切线与弦线 AB 平行,如何利用罗尔定理来证明?,则由已知条件可得:,故由罗尔定理, 至少存在一点,证,还有什么?,推论 1,推论 1,推论 2,( C 为常数 ),推论 2,推论 3,用来证明一些重要的不等式,推论 3,推论 4,用来判断函数的单调性,推论 4,推论 5,则,再由推论 4 , 即得命题成立 .,该推论可以用来证明不等式.,证,解,故,从而,证,证,证,延拓!,证,从而,解,解,又,故,从而,即,证,则,又,且,故,即,证,在拉格朗日 中值定理中, 将 曲线用参数方程 表示 , 会出现什 么结论?,使曲线在该点的切线与弦线平行, 即它们的,斜率相等.,注意:,并不具备任意性,它们间的关系由曲线确定.,五. 柯西中值定理,设,则至少存在一点,有人想:分子分母分别用拉格朗日中值定理,就可证明柯西中值定理了.,故 由罗尔中值定理至少存在一点,使得,亦即,证,分析,证,六. 三个中值定理的关系,图形旋转,参数方程,