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1、, 一元微积分学,大 学 数 学（一）,第十九讲 微分中值定理,第四章 一元函数的导数与微分,本章学习要求： 理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可 导、可微、连续之间的关系。 熟悉一阶微分形式不变性。 熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、 复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程 求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微 分。 了解 n 阶导数的概念，会求常见函数的 n 阶导数。 熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰 勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方 程求解、不等式的证明等）。 掌握罗必塔法则并能熟练运
2、用它计算有关的不定式极限。,第五节 微分中值定理,第四章 一元函数的导数与微分,二. 费马定理,三. 罗尔中值定理,四. 拉格朗日中值定理,五. 柯西中值定理,一. 引言,六. 三个中值定理的关系,函数导数的定义为,导数与差商,我们常常需要从函数的导数所给出 的局部的或“小范围”性质, 推出其整体的 或“大范围”性质. 为此, 我们需要建立函 数的差商与函数的导数间的基本关系式, 这些关系式称为“微分学中值定理”. 这些中值定理的创建要归功于费马、 拉格朗日、柯西等数学家.,首先, 从直观上来看看,“函数的差商与函数的导数间的基本关系式”,是怎么一回事.,导数与差商,相等！,将割线作平行移动,
3、 那么它至少有一次会,达到这样的位置：,在曲线上与割线距离最远的那一点P 处成,为切线, 即在点P 处与曲线的切线重合.,该命题就是微分中值定理.,极值的定义,二. 费马定理,可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在该点的导数值为零.,定理,点击此处可了解费马,Pierre de Fermat (16051665),费尔马是法国数学家。 1801年 8 月出生于法国南 部图卢兹附近的博蒙 德 洛马涅，1665年 1 月卒于 法国喀斯特尔。,费尔马出生于皮革商人家庭，他的祖父、父亲、叔父 都从事商业工作。他的父亲还是当地的第二执政官，经 办了一个生意兴隆的皮革商行。他的母亲曾在长袍贵族 议会中
4、任职。费尔马于1631年6 月和他母亲的堂妹结婚， 生育了两个儿子和三个女儿。 费尔马在家乡度过了他的童年和少年时代，在家乡读 完中学后，进了图卢兹大学。在 17 世纪 20 年代后期， 费尔马曾在波尔多渡过了相当长一段时间。在这段时间内， 他对数学产生了兴趣，并深入地研究过韦达的著作。,1631年5 月，费尔马获得奥尔良大学民法学士学 位，并以律师为职业。曾任图卢兹议会的议员，享有 长袍贵族特权。他不但有丰富的法律知识，而且是一 个博览群书、识多见广的学者。费尔马精通法语、意 大利语、西班牙语、拉丁语、希腊语，这使得他能深 入钻研阿基米德、丢番图、帕普斯等人的古典数学著 作。他在研究几何的过
5、程中，发现了解析几何原理； 他是创建微积分的先驱；他与帕斯卡共同开创了概率 论的早期研究；他是近代数论的开拓者。,费尔马性情谦抑，好静成癖。他固执地拒绝编辑他的 研究成果或以他的名字公开发表。他往往将数学的研究成 果以不给出证明的形式写在他阅读过的书籍的边缘空白处； 或写在给朋友的书信中；或者干脆随意丢在旧纸堆中。费 马对自己已研究过的问题不再感兴趣，所以，往往对研究 的结果不留底稿或记录。费尔马生前发表的几篇文章都是 在他要求匿名，且不作详细解释的条件下发表的。这种个 性使得费尔马的研究不能扬名于世，不能推动当时数学学 科的发展，同时也使得他晚年的研究工作脱离了数学发展 的主流。知道费尔马去
6、世后，他的成果才由后人整理发表。,进入19世纪中叶，由于对数论的重新研究，数学家和 数学史专家对费尔马及其著作都产生了浓厚的兴趣，世人 也争先发表和研究费尔马的著作。 费尔马在研究丢番图的“算术”时，在读到拉丁文翻译 本的第二卷上第八题：“将一个平方数分为两个平方数”时， 在书页的空白处写道 “另一方面，将一个立方数分为两个 立方数，一个四次幂分为两个四次幂，或者一般地将一个 高于二次的幂分为两个同次幂，是不可能的。对此，我已 发现了一种美妙的证法，可惜这里的地方太小，写不下。” 这个“写不下的证明”就是后来闻名于世的“费尔马大定理”。,费马定理的几何解释,如何证明？,则有,于是,（极小值类似
7、可证）,证,但是,不保证在内部！,水平的,可保证在内部一点取到极值,三. 罗尔中值定理,设,则至少存在一点,定理,实际上, 切线与弦线 AB 平行.,最小值至少各一次.,证,最小值至少各一次.,由费马定理可知：,证,其中,综上所述,连续,可微,端点函数值相等,证,由罗尔定理, 至少存在一点,分析问题的条件, 作出辅助函数是证明的关键 .,且满足罗尔定理其它条件,证,想想, 看能不能找到证明的方法.,证,则由已知条件可知:,该矛盾说明命题为真 .,证,证,引理 1,达布中值定理,达布中值定理,费马定理的一种推广,证明引理1,证明达布中值定理,请自己完成!,如何描述,这一现象,四. 拉格朗日中值定
8、理,1. 拉格朗日中值定理,2. 推论1,3. 推论2,4. 推论3,5. 推论4,6. 推论5,设,则至少存在一点,定理,1. 拉格朗日中值定理,切线与弦线 AB 平行,如何利用罗尔定理来证明？,则由已知条件可得：,故由罗尔定理, 至少存在一点,证,还有什么？,推论 1,推论 1,推论 2,( C 为常数 ),推论 2,推论 3,用来证明一些重要的不等式,推论 3,推论 4,用来判断函数的单调性,推论 4,推论 5,则,再由推论 4 , 即得命题成立 .,该推论可以用来证明不等式.,证,解,故,从而,证,证,证,延拓!,证,从而,解,解,又,故,从而,即,证,则,又,且,故,即,证,在拉格朗日 中值定理中, 将 曲线用参数方程 表示 , 会出现什 么结论？,使曲线在该点的切线与弦线平行, 即它们的,斜率相等.,注意:,并不具备任意性,它们间的关系由曲线确定.,五. 柯西中值定理,设,则至少存在一点,有人想：分子分母分别用拉格朗日中值定理,就可证明柯西中值定理了.,故 由罗尔中值定理至少存在一点,使得,亦即,证,分析,证,六. 三个中值定理的关系,图形旋转,参数方程,
