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1、第八章,第八节,一、多元函数的极值,二、最值应用问题,三、条件极值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,多元函数的极值及其求法,A,B,C,D,z=f(x,y),f 在顶点A、B、C、D处有极大值,多元函数的极值,A,B,C,D,z=f(x,y),f 在点D处有极大值,D是尖点，,多元函数的极值,.,说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .,例如,定理1 (必要条件),函数,偏导数,证:,据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.,取得极值 ,取得极值,取得极值,但驻点不一定是极值点.,有驻点( 0, 0 ),但在该点不取极值.,且在该点取得极值 ,则有,存在,故,机动 目录 上页 下页 返
2、回 结束,时, 具有极值,定理2 (充分条件),的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且,令,则: 1) 当,A0 时取极大值;,A0 时取极小值.,2) 当,3) 当,证明见 第九节(P65) .,时, 没有极值.,时, 不能确定 , 需另行讨论.,若函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,求函数,解: 第一步 求驻点.,得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步 判别.,在点(1,0) 处,为极小值;,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在点(3,0) 处,不是极值;,在点(3,2) 处,为极大值.,
3、在点(1,2) 处,不是极值;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.讨论函数,及,是否取得极值.,解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.,因此,为极小值.,正,负,0,在点(0,0),并且在 (0,0) 都有,可能为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、最值应用问题,函数 f 在闭域上连续,函数 f 在闭域上可达到最值,最值可疑点,驻点;偏导数不存在的点；,边界上的最值点,特别, 1）当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,为极小 值,为最小 值,(大),(大),依据,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2）在实际
4、问题中, 往往根据问题的性质就可以断定函数在区域内部确有最大值(最小值), 这时如果函数在区域内只有一个驻点, 则可以断定该点处的函数值就是函数在区域上的最大值(最小值).,例3: 求二元函数 z=f(x, y)=x2y(4xy) 在以直线x+y=6, x轴和y轴所围成的闭区域上的最大值与最小值.,解: 区域D如图, 先求函数在D内的驻点.,解方程组,的区域D内的唯一驻点(2, 1), 且f(2, 1)=4.,再求函数f(x, y)在D的边界上的最大(小)值.,在边界x=0和y=0上f(x, y)=0,在边界x+y=6上, 有y=6x, 则 f(x, y)=x2(6x)(2),由fx(x, y
5、)=4x(x6)+2x2=0, 得 x1=0, x2=4, 对应 y1=6, y2=2. 则 f(0, 6)=0, f(4, 2)=64. 比较得知: f(2, 1)=4为最大值, f(4, 2)=64为最小值.,例4.,解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为,则水箱所用材料的面积为,令,得驻点,某厂要用铁板做一个体积为2,根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?,因此可,断定此唯一驻点就是最小值点.,即当长、宽均为,高为,时, 水箱所用材料最省.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 有一宽为 24cm 的长
6、方形铁板 ,把它折起来做成,解: 设折起来的边长为 x cm,则断面面积,一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为 ,积最大.,为,问怎样折法才能使断面面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,解得:,由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有,一个驻点,故此点即为所求.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、条件极值,极值问题,无条件极值:,条 件 极 值 :,条件极值的求法:,方法1 代入法.,求一元函数,的无条件极值问题,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,例如 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方法2 拉格朗日乘数法.,则问题等价于一元函数,可确
7、定隐函数,的极值问题,极值点必满足,则,记,例如,故,故有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,引入辅助函数,辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.,利用拉格,极值点必满足,则极值点满足:,朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推广,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.,设,解方程组,可得到条件极值的可疑点 .,例如, 求函数,下的极值.,在条件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.,要设计一个容量为,则问题为求x , y ,令,解方程组,解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积,最小.,
8、z 使在条件,水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？,的长方体开口水箱, 试问,机动 目录 上页 下页 返回 结束,得唯一驻点,由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.,因此 , 当高为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6某企业生产甲、乙两种产品，其销售单价分别为10万元/件、9万元/件，若生产件甲产品和件乙产品的总成本为 （万元），又已知两种产品的总产量为100件，试建立这一问题的数学模型，并分析两种产品的产量各为多少时企业获得最大利润。,解：因为企业获得的总利润应为总收入 与总成本C之差，因此这一问题的数学模型应描述如下：,解上述方程组得到唯一驻点 ，依题
9、意知所求最大利润一定存在。故当产品甲产量为70件，产品乙产量为30件时企业获得最大利润。,内容小结,1. 函数的极值问题,第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.,即解方程组,第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .,2. 函数的条件极值问题,(1) 简单问题用代入法,如对二元函数,(2) 一般问题用拉格朗日乘数法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设拉格朗日函数,如求二元函数,下的极值,解方程组,第二步 判别, 比较驻点及边界点上函数值的大小, 根据问题的实际意义确定最值,第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件),3. 函数的最值问题,在条件,求驻点 .,机动 目录 上页 下
10、页 返回 结束,已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),试在椭圆,圆周上求一点 C, 使,ABC 面积 S最大.,解答提示:,设 C 点坐标为 (x , y),思考与练习,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设拉格朗日函数,解方程组,得驻点,对应面积,而,比较可知, 点 C 与 E 重合时, 三角形,面积最大.,点击图中任意点 动画开始或暂停,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题 1. 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.,解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x , y , z ,则,它们所对应的三个三角形面积分别为,设拉氏函数,解方程组, 得,故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为边的面积最大的四边形 ,试列出其目标函数和约束条件 ?,提示:,目标函数 :,约束条件 :,答案:,即四边形内接于圆时面积最大 .,2. 求平面上以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业 P61 3, 4, 8, 9,习题课 目录 上页 下页 返回 结束,
