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1、1,2.6 力矩 刚体绕定轴转动微分方程,一、力矩,力:,改变质点的运动状态,质点获得加速度。,力矩：,改变刚体的转动状态,刚体获得角加速度。,h,A,(力F 在垂直于轴的平面内),1. 力 对z 轴的力矩,2,大小,由右螺旋法则确定。,h,A,矢量形式,思考：一对作用力与反作用力的力矩和等于对少？,方向,刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消,O,4,2 不在转动平面内的力对定轴力矩的矢量形式,A,方向由右螺旋法则确定。,1)合外力矩,2)使刚体顺时针转动的力矩 ; 反之,注意：,5,二、刚体绕定轴转动微分方程,作用在 上的外力 ，内力,z,o,在圆轨迹切线方向,两边乘以rk，并对整个刚体求和
2、,6,其中 称为合外力矩 ；,令 , 称为刚体对z轴的转动惯量。,内力矩之和为零；,则,或,7,刚体绕定轴转动时，刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积等于作用在刚体上所有外力对该轴力矩的代数和。, 刚体绕定轴转动微分方程，或转动定律。,刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比,与刚体的转动惯量成反比。,8,两个定律在形式上对应, 都是反映瞬时效应的。,(2)转动定理矢量式的理解,(1) 转动定律与牛顿第二定律比较：,(3) m反映质点的平动惯性，J 则反映刚体的转动惯性。,9,三、转动惯量,刚体质量不连续分布,刚体质量连续分布,确定转动惯量的三个要素:,(1) 总质量； (2) 质量分布
3、； (3) 转轴的位置。,四. J 的计算,11,例1求长为L质量为m 的均匀细棒对端点轴的转动惯量。,解: 取如图坐标，dm = dx,J 与刚体的总质量有关,（1）用定义式计算,12,J 与转轴的位置有关,例2 求长为L质量为m 的均匀细棒对中心垂线转轴的转动惯量。,对端点,二者关系：,13,平行轴定理,刚体绕任意轴的转动惯量；,刚体绕通过质心的轴的转动惯量；,两轴间垂直距离。,14,例3 求图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为L、圆盘半径为R）,(棒对边缘轴),(圆盘对中心轴),(圆盘对棒边缘轴),15,例4 圆环绕中心轴旋转的转动惯量。,16,例5 圆盘绕中心
4、轴旋转的转动惯量。,J 与质量分布有关,17,（2）用平行轴定理、迭加法,(3) 实验法 如三线扭摆法。,J = J 大 J 小,J = J 大 + J 小,18,(1) 飞轮的角加速度。,四、转动定律的应用举例,求:,例1 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kgm2,飞轮与转轴间的摩擦不计 。,(2) 如以重量P =98 N的物体挂在 绳端,试计算飞轮的角加速度。,19,解 (1),(2),两者区别?,20,例2 一定滑轮质量为 m，半径为 r , 不能伸长的轻绳两边分别系 m1 和 m2 的物体挂于滑轮上, m1 m2
5、, 绳与滑轮间无相对滑动。设轮轴光滑无摩擦, 滑轮的初角速度为零。,求:滑轮转动角速度随时间变化的规律。,21,解:以m1 ,m2 ,m 为研究对象,受力分析,滑轮 m：,m1：,m2：,22,P,O,l,例3一根长为l、质量为 m 的均匀细直棒, 其一端有一固定的光滑水平轴, 因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在竖直位置, 由于微小扰动, 在重力作用下由静止开始转动。 求:它由此下摆角 时的角加速度和角速度。,23,解: 棒下摆为加速过程, 外力矩为重力对O的力矩。重力作用在棒重心, 当棒处在下摆 角时, 重力矩大小为：,重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质心所产生的力矩一样。 因此棒绕轴O的转动惯量为：,24,棒处于角时：,而,作变换：,两边积分：,角速度：,
