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1、向量代数与空间解析几何,第七章 习题课,1.理解空间直角坐标系. 2.理解向量的概念及其表示; 掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法 3.掌握向量的运算（线性运算、内积、外积）. 4.了解两个向量垂直、平行的条件,一 基本要求,5.理解曲面方程的概念，了解常见二次曲面的 方程及其图形. 6.了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程.,7.了解空间曲线方程的概念 了解空间曲线的参数方程和一般方程 了解空间曲线在坐标平面上的投影,8.掌握平面的方程和直线的方程及其求法， 会利用平面、直线的相互关系，解决有关问题,3. 单位向量,基本单位向量,
2、4. 两向量的夹角,5. 向量的投影,二、 向量的运算,1. 线性运算,数乘,2. 内积:,加(减):,3.外积,（2）以 为邻边的平行四边形面积,(3) 与 同时垂直的向量可取作,两非零向量平行、垂直的等价条件：,二次曲面,柱面,旋转面,球面，椭球面，抛物面，双曲面，圆锥面,一、曲面,几个曲面围成的立体的图形,方程中缺少变量，准线和母线,空间解析几何：,二、空间曲线,一般式方程：,参数方程：,两曲面的交线,空间曲线 投影柱面 投影曲线,空间曲线的投影柱面及在坐标面上的投影,曲面在坐标面上的投影区域,立体在坐标面上的投影区域,三、平面方程,截距式,一般式,点法式,设已知 法向量,设已知点 方向
3、向量,一般式,参数式,对称式,四、直线的方程,直线与平面的夹角,直线的方向向量,平面的法向量,三 思考与课内练习,1.与各坐标轴正向夹角都相等的向量有多少个？ 方向角是什么？,2.设 都是单位向量，且 能得到 吗？,两个方向，无穷多个向量；,不能得到,3.如何求同时垂直 的单位向量？,4.三个坐标面的法向量、三个坐标轴的方向向 量是什么？,6.空间中下列方程表示什么？,5.适合下列条件的平面方程有什么特征？ （1）过原点; （2）平行于坐标轴; （3）过坐标轴; （4）平行于坐标面.,原点,母线平行于z轴的圆柱面,开口向上的椭圆抛物面,圆锥面,四 典型题目,证,例1设 为空间中平行于向量 的直
4、线， 是 外 一点， 是 上一点，求证 到 的距离为：,例2 已知向量 的模为8，且已知它与x轴和 y轴正向的夹角均为 ，求 的坐标表达式,解 设与 同向的单位向量为,其中,又,于是,例3 已知 为单位向量,且满足 计算,解 由,而,故,于是有,即,类似可得,三式相加，得,即,得,例4 求下列各平面方程 （1）平行于x轴且经过两点(4,0,-2),(5,1,7)； （2）通过点M(1,-1,1)且垂直于两平面 （3）在x轴上的截距为2，且过点(0,-1,0)和(2,1,3),例5 分别求适合下列条件的直线方程： （1）通过点(1,0,-3)且与平面 垂直；,（2）通过点(1,0, -2)且与平
5、面 平行，又与直线 垂直；,（3）通过点(0,-1,1)且与直线 平行,例6 利用平面束方程解题：,解 设过交线的平面束方程为,因平面过点(1,8,2) ，代入平面束方程，得,故所求方程为,的交线，且通过点(1,8,2)的平面方程 .,求通过两平面,例7下列方程或方程组表示什么图形？,旋转抛物面,中心在（2,0,0)的椭球面,平行的二条直线,球面与上半圆锥的交线,例8 求单叶双曲面 与平面,解 消去变量z，得所求投影柱面方程为,所求交线的投影方程为,方程和在xoy面上的投影方程.,的交线关于xoy面的投影柱面,例9 求曲面 与,所包围的立体在三个坐标面上的投影.,解 消去变量z，得xoy面上的投影为,在xoz面上的投影为,z,在yoz面上的投影为,
